Учебник reknow · 9 класс

Геометрия: теория

24 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Решение треугольников
Векторы
Площади треугольников и радиусы окружностей
Координаты вектора. Координатный метод
Векторы и метод координат
Синус, косинус и тангенс угла
Вписанные и правильные многоугольники
Теорема синусов и теорема косинусов
Метрические соотношения в окружности
Площадь треугольника
Правильные многоугольники
Длина окружности и площадь круга
Движения
Прямоугольный треугольник и подобие
Углы и отрезки в окружности
Четырёхугольники
Треугольник: углы, равнобедренный треугольник, медианы
Подобие фигур
Начальные сведения из стереометрии
Фигуры на клетчатой бумаге
Верные и неверные геометрические утверждения
Скалярное произведение векторов
Теорема косинусов: сторона и угол треугольника
Теорема синусов и радиус описанной окружности

Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень

Решение треугольников

Простыми словами

Треугольник задают три элемента: три стороны, две стороны и угол, сторона и два угла. «Решить треугольник» — найти остальное. Для этого хватает двух инструментов: теоремы косинусов и теоремы синусов.

Сторона

a = BC

лежит против угла

A

b = A C

— против

B

c = A B

— против

C

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

квадрат стороны = сумма квадратов двух других − удвоенное их произведение на косинус угла между ними

При $A = 9 0^{\circ}$ получается теорема Пифагора. Полезные частные случаи:

$A = 6 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ; $A = 12 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ ;
угол по трём сторонам: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ;
если неизвестна сторона, прилежащая к данному углу, — получится квадратное уравнение, берём положительный корень.

$∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 39$ , $BC = 49$ . Найти $A C = x$ .

$BC$ лежит против $A$ : $4 9^{2} = 3 9^{2} + x^{2} + 39 x$ .
$x^{2} + 39 x - 880 = 0$ , $x = \frac{- 39 + 71}{2} = 16$ .

$A B = 43$ , $BC = 35$ , $A C = 13$ . Угол $C$ лежит против $A B$ : $cos C = \frac{3 5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 3 ^{2}}{2 \cdot 35 \cdot 13} = \frac{- 455}{910} = - \frac{1}{2}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ .

Против большей стороны — больший угол. Знак $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ сразу говорит, острый угол $A$ ( $> 0$ ), прямой ( $= 0$ ) или тупой ( $< 0$ ).

Теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

R

— радиус описанной окружности

даны два угла и сторона — третий угол из суммы $18 0^{\circ}$ , затем пропорция;
$sin A : sin B : sin C = a : b : c$ ;
расстояние от центра описанной окружности до стороны $a$ : $R^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = R ∣ cos A ∣$ .

$BC = 4$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$∠ A = 9 0^{\circ}$ , $2 R = \frac{4}{s i n 9 0 ^{\circ}} = 4$ , $R = 2$ .

$sin A : sin B : sin C = 8 : 7 : 3$ . Значит, стороны $8 : 7 : 3$ (периметр не нужен). Средний угол против 7: $cos = \frac{64 + 9 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{1}{2}$ , угол $6 0^{\circ}$ .

Медиана и биссектриса через стороны

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}, (2 m_{a})^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A

m_{a}

— медиана к стороне

a

; формулы получаются удвоением медианы (достраиваем до параллелограмма)

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ , $A C = 35$ , $A M$ — медиана.

$(2 m)^{2} = 1600 + 1225 + 2 \cdot 40 \cdot 35 \cdot \frac{1}{2} = 4225$ .
$2 m = 65$ , $A M = 32, 5$ .

Биссектриса $A D$ : $B D : D C = A B : A C$ ; длина $l^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C$ ; при $∠ A = 12 0^{\circ}$ $l = \frac{b c}{b + c}$ .

Параллелограмм, вид треугольника, проекции

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

сумма квадратов диагоналей параллелограмма = сумма квадратов всех сторон

Меньшая диагональ лежит против острого угла $α$ : $d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ ; большая — против тупого: $d^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ . Если даны диагонали и угол между ними — стороны ищем из треугольника с половинами диагоналей.

Диагонали 18 и 30, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Большая сторона лежит против угла $12 0^{\circ}$ в треугольнике со сторонами 9 и 15: $81 + 225 + 135 = 441$ , сторона $21$ .

$A B = 24$ , $A D = 11$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ : большая диагональ $B D^{2} = 576 + 121 + 264 = 961$ , $B D = 31$ .

Пусть $c$ — наибольшая сторона. $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — остроугольный, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — прямоугольный, $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — тупоугольный. Пример: $12, 14, 3$ : $196 > 144 + 9$ — тупоугольный.

Проекция: $A H = A B \cdot ∣ cos A ∣$ , высота $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}$ . Если $∠ A$ тупой, основание высоты из $B$ лежит на продолжении $A C$ .

Косинус по синусу: $cos α = \pm 1 - sin^{2} α$ — знак выбирают по виду угла (тупой — минус). А $cos C$ в теореме косинусов — угла между двумя данными сторонами: $A B^{2} = 2 0^{2} + 1 6^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 16 \cdot \frac{1}{8} = 576$ , $A B = 24$ .

Тема 1 · Геометрия

Векторы

Потренироваться: задания по теме →

Сложение векторов

Простыми словами

Чтобы объяснить, куда идти, мало сказать «200 метров» — нужно ещё «на север». Вектор — это и расстояние, и направление сразу: стрелка из начала в конец. Два перемещения подряд складываются в одно — это и есть сумма векторов.

Вектор $A B$ — направленный отрезок с началом $A$ и концом $B$ . Длина (модуль) $∣ A B ∣$ — длина отрезка $A B$ , она не бывает отрицательной.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых: сонаправленные $a ↑↑ b$ или противоположно направленные $a ↑↓ b$ . Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сложение и вычитание

A B + BC = A C

правило треугольника: второй вектор откладываем от конца первого

Для цепочки работает правило многоугольника: $A B + BC + C D = A D$ — «конец одного = начало следующего», сумма идёт от первого начала к последнему концу. Например, $X Y + Y Z = XZ$ , $BC + C D = B D$ .

a = A D

b = A B

a + b = A C

(зелёная),

a - b = B D

(розовая)

Правило параллелограммаУ векторов с общим началом сумма — диагональ параллелограмма из того же начала.

Разность

a - b = a + (- b)

— вектор от конца

b

к концу

a

(общее начало).

$CB + B A$ : конец первого — начало второго, сумма $C A$ .
$A D - A B$ : общее начало $A$ , разность — от конца $B$ к концу $D$ : $B D$ .

$A B$ и $B A$ — противоположные векторы: $B A = - A B$ . Буквы в названии читаются строго «из начала в конец».

Умножение на число и длина суммы

∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣

при

k > 0

вектор

k a

сонаправлен с

a

, при

k < 0

— противоположно направлен

Если $a = k b$ , векторы коллинеарны (это признак коллинеарности).

Слева: умножение на число. Справа:

a ⊥ b

, длина суммы — гипотенуза

Расположение	$∣ a + b ∣$
сонаправлены $a ↑↑ b$	$∣ a ∣ + ∣ b ∣$
противоположно направлены $a ↑↓ b$	$∣ a ∣ - ∣ b ∣$
перпендикулярны $a ⊥ b$	$∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}$

$∣ a ∣ = 18$ : $∣ - 4 a ∣ = 4 \cdot 18 = 72$ ; $∣ a ∣ = 10$ : $∣0, 5 a ∣ = 5$ .
$a ↑↑ b$ , $17$ и $10$ : $∣ a + b ∣ = 27$ . $a ↑↓ b$ , $12$ и $13$ : $∣ a + b ∣ = 1$ .
$a ⊥ b$ , $18$ и $24$ : $∣ a - b ∣ = 324 + 576 = 30$ ; $9$ и $40$ : $∣ a + b ∣ = 41$ .

Для перпендикулярных векторов $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ : это две диагонали прямоугольника, а они равны.

Свойства сложения и нулевой вектор

Нулевой вектор $0$ — точка, у которой начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, направление не определено; считают, что он коллинеарен любому вектору.

Свойство	Запись
от перестановки слагаемых сумма не меняется	$a + b = b + a$ ; в параллелограмме $A D + A B = A C$
сумма противоположных векторов	$a + (- a) = 0$ , $A B + B A = 0$
разность	$a - b = a + (- b)$

Два вектора одинаковой длины не обязательно равны — нужно ещё одинаковое направление. И длина суммы не всегда равна сумме длин: $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ только у сонаправленных векторов.

Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень

Площади треугольников и радиусы окружностей

Потренироваться: задания по теме →

Площадь треугольника

Простыми словами

Площадь треугольника можно посчитать по-разному: по стороне и высоте, по трём сторонам, по двум сторонам и углу. Выбирают ту формулу, для которой всё дано. А сравнивать площади часто проще, чем считать: у треугольников с общей высотой площади относятся как основания.

S = \frac{1}{2} a h_{a} = p (p - a) (p - b) (p - c) = \frac{1}{2} ab sin C = p r = \frac{ab c}{4 R}

a, b, c

— стороны,

h_{a}

— высота к

a

p

— полупериметр,

C

— угол между

a

b

r

R

— радиусы вписанной и описанной окружностей

Формула Герона и высоты

Площадь по трём сторонам: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ . Произведение под корнем раскладывайте на множители — корень извлечётся без калькулятора.

Высота $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ . Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, наименьшая — к наибольшей.

$A B = 34$ , $BC = 18$ , $A C = 20$ . Найти наибольшую высоту.

$p = 36$ ; $S = 36 \cdot 2 \cdot 18 \cdot 16 = 20736 = 144$ .
Наименьшая сторона 18: $h = \frac{2 \cdot 144}{18} = 16$ .

Стороны $39, 25, 34$ : $p = 49$ , $S = 49 \cdot 10 \cdot 24 \cdot 15 = 176400 = 420$ .

Радиусы вписанной и описанной окружностей

r = \frac{S}{p}, R = \frac{ab c}{4 S}

отрезки касательных из вершины $A$ равны $p - a$ ; $A I^{2} = r^{2} + (p - a)^{2}$ ( $I$ — центр вписанной окружности);
прямоугольный треугольник: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ , $S = r (r + c)$ .

$A B = 10$ , $BC = 17$ , $A C = 9$ . Найти $r$ .

$p = 18$ , $S = 18 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 9 = 36$ .
$r = \frac{36}{18} = 2$ .

$39, 39, 30$ : высота к основанию $3 9^{2} - 1 5^{2} = 36$ , $S = 540$ , $p = 54$ , $r = 10$ .

Площадь через синус угла

S_{△} = \frac{1}{2} ab sin C, S_{пар} = ab sin α, S_{четыр} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

φ

— угол между диагоналями

d_{1}, d_{2}

(любой выпуклый четырёхугольник)

Синус по косинусу: $sin α = 1 - cos^{2} α$ (синус угла треугольника положителен). Смежные углы: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , поэтому неважно, какой из двух углов между диагоналями взять.

$d_{1} = d_{2} = 13$ , $cos φ = \frac{12}{13}$ : $sin φ = \frac{5}{13}$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 169 \cdot \frac{5}{13} = 32, 5$ .

$S = 128, 25$ , $BC = 27$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2} \cdot 27 \cdot A C \cdot \frac{1}{2} = 128, 25$ , $A C = 19$ .

Отношения площадей

общая высота — площади относятся как основания;
общий угол: $\frac{S _{A D E}}{S _{A BC}} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}$ ( $D$ на $A B$ , $E$ на $A C$ );
подобные треугольники — площади относятся как $k^{2}$ ;
трапеция с диагоналями, пересекающимися в $O$ : $S_{A OB} = S_{CO D} = S_{BOC} \cdot S_{A O D}$ ;
треугольник $A M D$ , где $M$ — любая точка стороны $BC$ параллелограмма $A BC D$ , — половина его площади.

$A D : D B = 4 : 1$ , $BE : EC = 1 : 4$ , $CF : F A = 3 : 2$ , $S_{A BC} = 200$ . Найти $S_{D EF}$ .

Отрежем три угловых треугольника: $S_{A D F} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{8}{25} S$ , $S_{B D E} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} S = \frac{1}{25} S$ , $S_{CEF} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{12}{25} S$ .
$S_{D EF} = (1 - \frac{21}{25}) \cdot 200 = 32$ .

Трапеция: $S_{BOC} = 20$ , $S_{A O D} = 125$ , тогда $S_{A OB} = 2500 = 50$ .

Медианы и площадь

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников,

G

делит каждую медиану

2 : 1

от вершины

четырёхугольник $C A_{1} G B_{1}$ (две части из шести) — $\frac{1}{3} S$ : при $S = 324$ это $108$ ;
треугольник, составленный из медиан: $S = \frac{4}{3} S_{медиан}$ ;
если медианы $m_{a} ⊥ m_{b}$ : $S = \frac{2}{3} m_{a} m_{b}$ , $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ ;
биссектриса делит площадь в отношении прилежащих сторон.

Медианы $34, 50, 52$ . По Герону треугольник из медиан: $p = 68$ , $S = 68 \cdot 34 \cdot 18 \cdot 16 = 816$ ; площадь исходного $\frac{4}{3} \cdot 816 = 1088$ .

Коэффициент $\frac{4}{3}$ — от треугольника из медиан к исходному, а не наоборот.

Тема 2 · Геометрия

Координаты вектора. Координатный метод

Потренироваться: задания по теме →

Сложение векторов

Простыми словами

Вектор — это «инструкция по перемещению»: на сколько шагов сдвинуться вправо и на сколько вверх. Эти два числа и есть его координаты. Где бы ни начинался вектор, инструкция та же — поэтому равные векторы имеют одинаковые координаты.

Координаты и длина вектора

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

A (x_{1}; y_{1})

— начало,

B (x_{2}; y_{2})

— конец: из координат конца вычитаем координаты начала

A (- 3; 1)

B (3; 4)

A B = (3 - (- 3); 4 - 1) = (6; 3)

, середина

M (0; 2, 5)

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}, A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

длина вектора

a (x; y)

и расстояние между точками — это теорема Пифагора

$A (3; 0)$ , $B (- 1; - 3)$ . Найти $A B$ .

$A B = (- 1 - 3; - 3 - 0) = (- 4; - 3)$ .
$A B = 16 + 9 = 5$ .

Порядок важен: «конец минус начало». Если вычесть наоборот, получится противоположный вектор $B A$ — знаки у координат поменяются. На длину это не влияет: минус под квадратом исчезает.

Середина отрезка и действия с векторами

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

середина отрезка

A B

— среднее арифметическое координат концов

$A (6; - 2)$ , $B (- 2; - 4)$ : $M (\frac{6 - 2}{2}; \frac{- 2 - 4}{2}) = (2; - 3)$ .

a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}), k a = (k x; k y)

складываем и вычитаем соответствующие координаты; при умножении на число

k

умножаем каждую

$a (- 3; 0)$ , $b (2; 4)$ : $a - b = (- 3 - 2; 0 - 4) = (- 5; - 4)$ .

Сложение «по координатам» — как сложение перемещений: 3 шага вправо, потом ещё 2 шага вправо — всего 5.

Уравнение окружности

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

(a; b)

— центр,

R

— радиус; это условие «расстояние от точки

(x; y)

до центра равно

R

Центр $O (- 3; - 4)$ , $R = 5$ .

$x - (- 3) = x + 3$ , $y - (- 4) = y + 4$ .
$(x + 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$ .

Знаки в скобках противоположны координатам центра: центр $(2; - 1)$ даёт $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}$ . Справа стоит $R^{2}$ , а не $R$ : при $R = 3$ пишем $9$ .

Коллинеарность и уравнение прямой

Векторы $a (x_{1}; y_{1})$ и $b (x_{2}; y_{2})$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}$ (или $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ). Например, $(2; 3)$ и $(4; 6)$ : $b = 2 a$ .

Нулевой вектор $0 (0; 0)$ — начало совпадает с концом, длина равна нулю. Координаты вектора не зависят от того, от какой точки он отложен: равные векторы имеют равные координаты.

a x + b y + c = 0

общее уравнение прямой;

a

b

не равны нулю одновременно

Если $b \neq = 0$ , его можно переписать как $y = k x + m$ . Точка лежит на прямой, если её координаты обращают уравнение в верное равенство.

$x^{2} + y^{2} = 25$ — окружность радиуса $5$ , а не $25$ : справа стоит $R^{2}$ .

Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень

Векторы и метод координат

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Геометрическую задачу можно перевести на язык чисел: точки — координаты, отрезки — векторы, прямые и окружности — уравнения. Тогда вместо догадки о чертеже достаточно аккуратно посчитать.

ВекторыДлины и углы считаем через скалярное произведение.

КоординатыРасстояния, середины, пересечения — формулы и системы уравнений.

Скалярное произведение

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

φ

— угол между векторами,

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

— их координаты; результат — число

cos φ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

$a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$ ; если $a \cdot b > 0$ — угол острый, $< 0$ — тупой;
скалярный квадрат $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ;
$∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ ;
скобки раскрываются как у многочленов: $(a + 2 b) (a - b) = ∣ a ∣^{2} + a \cdot b - 2∣ b ∣^{2}$ .

$∣ a ∣ = 12$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найти $∣ a - b ∣^{2}$ .

$a \cdot b = 12 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12$ .
$∣ a - b ∣^{2} = 144 - 2 \cdot (- 12) + 4 = 172$ .

Векторы в фигурах

Выберем два неколлинеарных вектора с общим началом, у которых известны длины и угол, например $u = A B$ , $v = A C$ . Любой вектор фигуры выражается через них.

правило треугольника: $A C = A B + BC$ ;
$M$ — середина $BC$ : $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ ;
$B K : K C = m : n$ : $A K = \frac{n}{m + n} A B + \frac{m}{m + n} A C$ (при $1 : 2$ коэффициент при $A C$ равен $\frac{1}{3}$ );
медиана: $4 A M^{2} = A B^{2} + 2 A B \cdot A C + A C^{2}$ .

$∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 2$ , $A C = 4$ , $M$ — середина $BC$ . Найти $M A \cdot BC$ .

$M A = - \frac{1}{2} (u + v)$ , $BC = v - u$ .
Произведение: $- \frac{1}{2} (v + u) (v - u) = - \frac{1}{2} (∣ v ∣^{2} - ∣ u ∣^{2}) = - \frac{1}{2} (16 - 4) = - 6$ .

Коэффициенты при делении $B K : K C = m : n$ «перекрёстные»: при $A B$ стоит $n$ , при $A C$ — $m$ . Чем ближе $K$ к $B$ , тем больше вес $A B$ .

Уравнение прямой

y = k x + b или a x + b y = c

k

— угловой коэффициент; вектор

(a; b)

перпендикулярен прямой

a x + b y = c

через две точки: $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ ;
параллельные: $k_{1} = k_{2}$ ; перпендикулярные: $k_{1} k_{2} = - 1$ ;
точка пересечения — решение системы уравнений;
серединный перпендикуляр к $A B$ проходит через середину $A B$ , а $A B$ — его нормаль.

При каком $m$ прямая $y = m x - 3$ проходит через точку пересечения $x - y = 9$ и $- 5 x - 5 y = 5$ ?

Второе: $x + y = - 1$ . Складываем с первым: $2 x = 8$ , $x = 4$ , $y = - 5$ .
$- 5 = 4 m - 3$ , $m = - 0, 5$ .

Уравнение окружности

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

(a; b)

— центр,

R

— радиус

Уравнение $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ приводят к этому виду выделением полных квадратов: $x^{2} + D x = (x + \frac{D}{2})^{2} - \frac{D ^{2}}{4}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y + 49 = 0$ : $(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 9 + 49 - 49 = 9$ , $R^{2} = 9$ — площадь круга $9 π$ .

Центр

Q (- 15; 9)

, окружность касается

O y

⇒

R = 15

; половина хорды на

O x

1 5^{2} - 9^{2} = 12

, хорда

24

касание оси $O x$ : $R = ∣ b ∣$ , оси $O y$ : $R = ∣ a ∣$ ;
на диаметре $A B$ : центр — середина $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$ ;
через три точки — вычесть уравнения попарно; прямая и окружность — подстановка, квадратное уравнение.

Метод координат

A B^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}, M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

расстояние между точками и середина отрезка

точка пересечения медиан: $(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}; \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$ ;
четвёртая вершина параллелограмма $A BC D$ : $D = A + C - B$ ;
площадь: $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ , где $A B (x_{1}; y_{1})$ , $A C (x_{2}; y_{2})$ .

На $O x$ найти точку $P (x; 0)$ , равноудалённую от $A (0; - 4)$ и $B (- 5; - 5)$ .

$x^{2} + 16 = (x + 5)^{2} + 25$ — квадраты $x^{2}$ сокращаются.
$16 = 10 x + 50$ , $x = - 3, 4$ .

$A (- 4; - 2)$ , $B (- 1; - 6)$ , $C (1; - 2)$ : $A B (3; - 4)$ , $A C (5; 0)$ , $cos A = \frac{15}{5 \cdot 5} = 0, 6$ .

Параметр в векторе и основание перпендикуляра

При каком $t$ вектор $a + t b$ перпендикулярен $c$ ? $a (0; - 3)$ , $b (1; - 4)$ , $c (2; 1)$ .

$a + t b = (t; - 3 - 4 t)$ .
Перпендикулярность — скалярное произведение равно нулю: $2 t + (- 3 - 4 t) \cdot 1 = 0$ , $- 2 t - 3 = 0$ , $t = - 1, 5$ .

Из точки $P (3; 9)$ опущен перпендикуляр $P H$ на прямую $y = x + 4$ . Найти $H$ .

Угловой коэффициент перпендикуляра: $k_{1} k_{2} = - 1$ , $k = - 1$ . Прямая $P H$ : $y - 9 = - (x - 3)$ , то есть $y = - x + 12$ .
$H$ — пересечение: $x + 4 = - x + 12$ , $x = 4$ , $y = 8$ . Сумма координат $12$ .

Прямая через точку $P (x_{0}; y_{0})$ с угловым коэффициентом $k$ : $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ . Параллельная прямой $y = k x + b$ — с тем же $k$ .

Тема 3 · Геометрия

Синус, косинус и тангенс угла

Потренироваться: задания по теме →

Синус и косинус Тригонометрия

Простыми словами

Чем круче горка, тем выше поднимаешься на каждый метр пути. Синус, косинус и тангенс — числа, которые описывают «крутизну» угла: они зависят только от угла, а не от размера треугольника. Поэтому, зная угол и одну сторону, можно найти остальные.

Катеты называют относительно угла

α

A C

— напротив него,

BC

— рядом

sin α = \frac{A C}{A B} cos α = \frac{BC}{A B} tg α = \frac{A C}{BC}

синус — противолежащий катет / гипотенуза; косинус — прилежащий / гипотенуза; тангенс — противолежащий / прилежащий

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 5$ , $A B = 13$ ; $α = ∠ B$ .

Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$ : $cos B = \frac{5}{13} \approx 0, 38$ .
При $A C = 4$ , $BC = 3$ , $A B = 5$ : $tg B = \frac{A C}{BC} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ .

«Противолежащий» и «прилежащий» зависят от того, о каком угле речь. Для угла $A$ катеты меняются ролями.

Таблица значений

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—

Синусы $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ : $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ . Косинусы — та же строка в обратном порядке.

Обратный вопрос «для какого угла $sin α = 0, 5$ ?» решается по той же таблице: $α = 3 0^{\circ}$ .

$∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , найти прилежащий катет $BC$ : $BC = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .
$∠ B = 3 0^{\circ}$ , $A C = 13$ (катет напротив $B$ ), найти $A B$ : $A B = \frac{A C}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 26$ .

Катет, лежащий напротив угла $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1 tg α = \frac{sin α}{cos α}

это теорема Пифагора, делённая на квадрат гипотенузы

Для острого угла все значения положительны, поэтому $cos α = 1 - sin^{2} α$ .

$α$ — острый, $sin α = 0, 8$ . Найти $tg α$ .

$cos^{2} α = 1 - 0, 64 = 0, 36$ , $cos α = 0, 6$ .
$tg α = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ .
При $sin α = 0, 75$ : $cos α = 0, 4375 \approx 0, 661$ , $tg α \approx 1, 13$ .

$sin^{2} α$ — это $(sin α)^{2}$ , а не $sin (α^{2})$ .

Углы от 0° до 180°

Для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ строят луч из центра единичной полуокружности: $cos α$ — абсцисса точки на ней, $sin α$ — ордината.

sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}

, а

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

формулы приведения: тупой угол сводится к острому

18 0^{\circ} - α

$sin 12 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ — сводится к острому углу $6 0^{\circ}$ . $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .

Тупой уголсинус

> 0

, косинус

< 0

, тангенс

< 0

$9 0^{\circ}$

sin = 1

cos = 0

, тангенс не существует

Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень

Вписанные и правильные многоугольники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Пчелиные соты — правильные шестиугольники: все стороны и все углы равны. Вокруг любой правильной фигуры можно описать окружность и в неё же вписать окружность, а их радиусы связаны со стороной простыми формулами.

Слева:

R

r

правильного шестиугольника. Справа: сектор с углом

φ = 9 0^{\circ}

= треугольник + сегмент

Вписанный и описанный четырёхугольник

Вписанный

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

. Вписанная трапеция всегда равнобедренная.

Описанный

A B + C D = BC + A D

. В трапеции сумма боковых сторон = сумме оснований,

h = 2 r

. Отрезки касательных из одной вершины равны.

Равнобедренная трапеция с основаниями $a$ , $b$ , в которую вписана окружность: боковая сторона $\frac{a + b}{2}$ , высота $h = ab$ .

Трапеция вписана в окружность $R = 20$ , основание $A D$ — диаметр, $BC = 32$ . Найти площадь.

$A D = 40$ . Расстояние от центра до хорды $BC$ : $2 0^{2} - 1 6^{2} = 12$ — это высота.
$S = \frac{40 + 32}{2} \cdot 12 = 432$ .

В четырёхугольник вписана окружность, $A B : BC : C D = 4 : 5 : 4$ , $P = 96$ . Найти $A D$ .

$A B + C D = BC + A D = \frac{96}{2} = 48$ , то есть $8 x = 48$ , $x = 6$ .
$BC = 30$ , $A D = 48 - 30 = 18$ .

Во вписанном четырёхугольнике любой угол между хордами — вписанный: ищите треугольник, в котором известны два угла.

Правильный многоугольник

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}, r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}, R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2}

n

— число сторон,

a

— сторона,

R

r

— радиусы описанной и вписанной окружностей

	$a$ через $R$	$r$
треугольник	$a = R 3$	$r = \frac{R}{2}$ , $R = 2 r$
квадрат	$a = R 2$	$r = \frac{a}{2}$
шестиугольник	$a = R$	$r = \frac{a 3}{2}$

Площадь: $S = n \cdot \frac{1}{2} R^{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ ; у 12-угольника $S = 3 R^{2}$ .

В правильный треугольник со стороной 54 вписана окружность, в неё — правильный треугольник. Его сторона?

Для большого треугольника окружность вписанная: $r = \frac{54}{2 3} = 93$ .
Для малого она описанная: $a = R 3 = 93 \cdot 3 = 27$ .

$a = 92$ : $R = \frac{a}{3} = \frac{9 2}{3} = 36$ .

Общая окружность связывает две фигуры: для вписанной в неё она описанная (радиус $R$ ), для описанной около неё — вписанная (радиус $r$ ).

Углы и диагонали

α = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}, β = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}, диагоналей \frac{n ( n - 3 )}{2}

α

— внутренний угол,

β

— центральный (и внешний) угол

Вершины делят описанную окружность на $n$ дуг по $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . Угол с вершиной в вершине многоугольника — вписанный и равен $k \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , где $k$ — число таких дуг, на которые он опирается.

Шестиугольник: $A C = a 3$ , $A D = 2 a$ , $S_{A CE} = \frac{S}{2}$ , $S_{A BC} = \frac{S}{6}$ , $S_{A B D} = \frac{S}{3}$ , четырёхугольник $A BEF$ (отрезанный диаметром $BE$ ) — половина шестиугольника.

Площадь шестиугольника 216. $△ A B D$ : $A D$ — диаметр, $∠ A B D = 9 0^{\circ}$ , катеты $a$ и $a 3$ , площадь $\frac{a ^{2} 3}{2}$ — ровно треть от $\frac{3 3 a ^{2}}{2}$ : ответ $72$ .

Длина дуги и площади частей круга

C = 2 π R, l = \frac{π Rφ}{18 0 ^{\circ}}, S = π R^{2}, S_{сект} = \frac{π R ^{2} φ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{lR}{2}

φ

— центральный угол в градусах,

l

— длина дуги

S_{сегм} = \frac{π R ^{2} φ}{36 0 ^{\circ}} - \frac{1}{2} R^{2} sin φ, S_{кольца} = π (R^{2} - r^{2})

сегмент = сектор − треугольник; больший сегмент = круг − меньший

вписанный угол $α$ опирается на дугу $2 α$ ; хорды $R$ , $R 2$ , $R 3$ стягивают дуги $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ ;
кольцо между окружностями правильного $n$ -угольника: $\frac{π a ^{2}}{4}$ при любом $n$ .

$R = 11$ , хорда $112$ . Площадь меньшего сегмента.

Хорда $R 2$ — центральный угол $9 0^{\circ}$ .
$S = \frac{121 π}{4} - \frac{121}{2} = \frac{121 π - 242}{4}$ .

Трапеция с основаниями 25 и 49 описана около окружности: $h = 25 \cdot 49 = 35$ , $C = πh = 35 π$ — в ответ $35$ .

«Запишите, делённое на $π$ »: если $l = 7, 5 π$ , в ответ идёт $7, 5$ . В сегменте треугольник вычитают, а не прибавляют, и берут меньший сектор.

Тема 4 · Геометрия

Теорема синусов и теорема косинусов

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Теорему Пифагора знают все, но она работает только в прямоугольном треугольнике. Теорема косинусов — это «Пифагор для любого треугольника», а теорема синусов связывает каждую сторону с углом напротив неё. Вместе они позволяют найти всё в треугольнике по трём известным элементам.

Обозначения: стороны $a$ , $b$ , $c$ лежат напротив углов $A$ , $B$ , $C$ соответственно ( $a = BC$ , $b = A C$ , $c = A B$ ).

Сторона

a

лежит напротив угла

A

и т. д.;

R

— радиус описанной окружности

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

квадрат стороны = сумма квадратов двух других минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними

Применяется, когда известны две стороны и угол между ними (ищем третью сторону) или три стороны (ищем угол). При $A = 9 0^{\circ}$ косинус равен нулю — получается теорема Пифагора $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Угол $A$	$cos A$	Формула
$6 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$
$9 0^{\circ}$	$0$	$a^{2} = b^{2} + c^{2}$
$12 0^{\circ}$	$- \frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$

$A B = 15$ , $A C = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найти $BC$ .

$B C^{2} = 1 5^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot cos 12 0^{\circ} = 225 + 81 + 135 = 441$ .
$BC = 441 = 21$ .

При $A B = 15$ , $A C = 8$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ : $B C^{2} = 225 + 64 = 289$ , $BC = 17$ .

У тупого угла косинус отрицательный: «минус на минус» даёт плюс, и сторона против тупого угла получается самой длинной.

Угол по трём сторонам

Выразим косинус из теоремы косинусов:

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

a

— сторона напротив искомого угла

A

$cos A > 0$ угол

A

острый

$cos A = 0$ угол

A

прямой

$cos A < 0$ угол

A

тупой

$BC = A C = A B = 20$ . Найти $cos A$ и $∠ A$ .

$cos A = \frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 20} = \frac{400}{800} = 0, 5$ .
$cos A = 0, 5$ , значит $∠ A = 6 0^{\circ}$ (так и должно быть: треугольник равносторонний).

Теорема синусов и радиус описанной окружности

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

стороны пропорциональны синусам противолежащих углов;

R

— радиус описанной окружности

Применяется, когда известны сторона и два угла или две стороны и угол напротив одной из них. Последнее равенство (расширенная теорема синусов) даёт радиус:

b = \frac{a sin B}{sin A} R = \frac{a}{2 sin A}

сторона через противолежащий угол; радиус описанной окружности

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $BC = 20$ . Найти $A C$ .

$BC$ лежит напротив $A$ , $A C$ — напротив $B$ : $\frac{A C}{s i n 12 0 ^{\circ}} = \frac{20}{s i n 3 0 ^{\circ}}$ .
$A C = \frac{20 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 203 \approx 34, 64$ .

$BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$R = \frac{7}{2 s i n 6 0 ^{\circ}} = \frac{7}{3} \approx 4, 04$ .
Аналогично при $BC = 31$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ : $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $R = \frac{31}{3} \approx 17, 90$ .

В прямоугольном треугольнике $R = \frac{c}{2}$ : центр описанной окружности — середина гипотенузы $c$ .

Сумма углов $18 0^{\circ}$ — третий угол всегда можно найти и подставить в теорему синусов. Выбор теоремы: есть угол между известными сторонами — косинусов; есть пара «сторона + угол напротив» — синусов.

Стороны и углы: что ещё нужно знать

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Против наибольшей стороны — наибольший угол: его и проверяют на тупость по знаку косинуса.
Тупой угол в треугольнике может быть только один: два тупых угла уже дали бы больше $18 0^{\circ}$ .
Треугольник определяется однозначно (признаки равенства), если известны: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны.
Теорема синусов верна для любого треугольника, не только для остроугольного. Две стороны и угол между ними — это задача на теорему косинусов, а не синусов.

$cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ , $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$ — эти три значения встречаются чаще всего.

Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень

Метрические соотношения в окружности

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Через точку внутри круга проведём любую хорду: точка разрежет её на два куска, и произведение их длин всегда одно и то же — сколько хорд ни проводи. Для точки вне круга так же ведут себя секущие, а квадрат касательной равен тому же произведению.

Слева:

A P \cdot PB = CP \cdot P D

. Справа:

P T^{2} = P A \cdot PB

Хорды, секущие, касательная

A P \cdot PB = CP \cdot P D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

P

Почему: треугольники $A PC$ и $D PB$ подобны — углы при $P$ вертикальные, $∠ C A B = ∠ C D B$ как вписанные на одну дугу.

P T^{2} = P A \cdot PB = PC \cdot P D = O P^{2} - R^{2}

P

вне круга,

PT

— касательная,

PB

— вся секущая,

P A

— её внешняя часть

через центр: для хорды через $P$ внутри $A P \cdot PB = R^{2} - O P^{2}$ ; для секущей через $O$ : $P A = OP - R$ , $PB = OP + R$ ;
диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: $C P^{2} = A P \cdot PB$ ;
кратчайшая хорда через $P$ перпендикулярна $OP$ и равна $2 R^{2} - O P^{2}$ ;
касательная $PT = O P^{2} - R^{2}$ , радиус $OT ⊥ PT$ .

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $P$ ; $A P = 3$ , $PB = 4$ , $CP : P D = 1 : 3$ . Найти $C D$ .

$CP = x$ , $P D = 3 x$ : $x \cdot 3 x = 3 \cdot 4$ , $x^{2} = 4$ , $x = 2$ .
$C D = x + 3 x = 8$ .

$P A = 7$ , $A B = 21$ . Найти касательную $PT$ .

Вся секущая $PB = 7 + 21 = 28$ .
$P T^{2} = 7 \cdot 28 = 196$ , $PT = 14$ .

В формулу секущей входит вся секущая $PB = P A + A B$ , а не хорда $A B$ . При $PT = 6$ , $P A = 3$ : $PB = 36 : 3 = 12$ , а хорда $A B = 12 - 3 = 9$ .

Углы и дуги

Вершина угла	Величина угла
внутри круга (две хорды)	$\frac{⌣ _{1} + ⌣ _{2}}{2}$ — полусумма дуг, на которые он и вертикальный к нему опираются
вне круга (секущие, касательные)	$\frac{⌣ _{дальн} - ⌣ _{ближн}}{2}$ — полуразность дуг
на окружности (касательная и хорда)	половина дуги внутри угла
две касательные из $P$	$∠ P = 18 0^{\circ} -$ меньшая дуга

Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $P$ , $∠ A PB = 9 2^{\circ}$ , дуга $A B = 10 8^{\circ}$ . Найти дугу $C D$ .

$92 = \frac{108 + x}{2}$ , откуда $x = 184 - 108 = 7 6^{\circ}$ .

Секущие $P A B$ и $PC D$ , дуга $B D = 14 2^{\circ}$ , дуга $A C = 5 4^{\circ}$ : $∠ BP D = \frac{142 - 54}{2} = 4 4^{\circ}$ .

Вершина внутри — дуги складываем, вершина снаружи — вычитаем; в обоих случаях делим на 2. Если даны оба угла (между секущими и между диагоналями вписанного четырёхугольника) — это полуразность и полусумма одних дуг: получается система.

Хорда и радиус

A B = 2 R sin ∠ A CB, d = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2}

∠ A CB

— вписанный угол, опирающийся на хорду

A B

;

d

— расстояние от центра до хорды

параллельные хорды: расстояние между ними $∣ d_{1} - d_{2} ∣$ (по одну сторону от центра) или $d_{1} + d_{2}$ (по разные);
биссектриса $A L$ , продолженная до окружности в точке $W$ : $A B \cdot A C = A L \cdot A W$ ;
высота $A H$ треугольника $A BC$ : $A B \cdot A C = A H \cdot 2 R$ .

Хорда $A B = 26$ , $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Найти периметр $△ A OB$ .

Центральный угол вдвое больше вписанного: $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ .
$O A = OB$ , значит $△ A OB$ равносторонний, $R = 26$ , $P = 78$ .

$R = 75$ , хорды $90$ и $120$ по разные стороны от центра: $d_{1} = 7 5^{2} - 4 5^{2} = 60$ , $d_{2} = 7 5^{2} - 6 0^{2} = 45$ , расстояние $60 + 45 = 105$ .

Две окружности

внешняя : d^{2} - (R - r)^{2}, внутренняя : d^{2} - (R + r)^{2}

длины отрезков общих касательных между точками касания;

d = O_{1} O_{2}

— расстояние между центрами

касаются внешним образом: $d = R + r$ , отрезок внешней касательной $2 R r$ ;
вписаны в угол с вершиной $V$ : $V O_{2} : V O_{1} = R : r$ , $V O_{2} - V O_{1} = R + r$ (если окружности касаются);
общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

$R = 83$ , $r = 29$ , внешняя касательная $A B = 72$ . Найти $O_{1} O_{2}$ .

Опустим из $O_{2}$ перпендикуляр на $O_{1} A$ : получим прямоугольный треугольник с катетами $72$ и $83 - 29 = 54$ .
$d = 7 2^{2} + 5 4^{2} = 90$ .

Окружности касаются внешне, $r = 9$ , касательная $24$ : $2 9 R = 24$ , $9 R = 144$ , $R = 16$ .

Взаимное расположение двух окружностей

Сравнивают расстояние между центрами $d$ с суммой и разностью радиусов $R \geq r$ .

Условие	Расположение	Общих касательных
$d > R + r$	лежат одна вне другой	4
$d = R + r$	касаются внешним образом	3
$R - r < d < R + r$	пересекаются в двух точках	2
$d = R - r$	касаются внутренним образом	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0

$R = 9$ , $r = 3$ , $d = 12$ . Сколько общих касательных?

$R + r = 12 = d$ — внешнее касание, общих касательных 3.

Окружности $R = 41$ и $r = 15$ пересекаются, $d = 52$ , центры по разные стороны от общей хорды $A B$ . Найти $A B$ .

Хорда $⊥ O_{1} O_{2}$ и делится линией центров пополам в точке $H$ . Пусть $O_{1} H = x$ , $O_{2} H = 52 - x$ .
$4 1^{2} - x^{2} = 1 5^{2} - (52 - x)^{2} \Rightarrow 104 x = 1681 - 225 + 2704 = 4160$ , $x = 40$ .
$A H = 4 1^{2} - 4 0^{2} = 9$ , $A B = 18$ .

Тема 5 · Геометрия

Площадь треугольника

Потренироваться: задания по теме →

Площадь треугольника

Простыми словами

Любой треугольник — ровно половина параллелограмма (или прямоугольника) с тем же основанием и высотой. Поэтому его площадь — «основание на высоту пополам». Остальные формулы нужны, когда высота не дана.

S = \frac{1}{2} a h

: высота

C H

проведена к основанию

A B = a

Пять формул площади

Формула	Когда применять
$S = \frac{1}{2} ah$	известны сторона и высота к ней
$S = \frac{1}{2} ab sin C$	две стороны и угол между ними
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$	три стороны (формула Герона)
$S = p \cdot r$	радиус вписанной окружности и стороны
$S = \frac{ab c}{4 R}$	радиус описанной окружности и стороны

Здесь $a, b, c$ — стороны, $h$ — высота к стороне $a$ , $C$ — угол между $a$ и $b$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.

Сторона, высота, площадь

S = \frac{1}{2} ah \Rightarrow h = \frac{2 S}{a}, a = \frac{2 S}{h}

$a = 5$ , $h = 6$ : $S = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ . $S = 90$ , $a = 18$ : $h = \frac{180}{18} = 10$ . $S = 140$ , $h = 10$ : $a = \frac{280}{10} = 28$ .

Выражая высоту или основание, не забудьте удвоить площадь: $h = \frac{2 S}{a}$ , а не $\frac{S}{a}$ .

Через угол и через три стороны

$A C = 16$ , $A B = 15$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ .

$sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{3}{2} = 603 \approx 103, 92$ .

Формула с синусом верна и для тупого угла: синус положителен от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ . При угле $9 0^{\circ}$ получается «половина произведения катетов».

Стороны $17, 21, 10$ (формула Герона).

$p = \frac{17 + 21 + 10}{2} = 24$ ; $p - a = 7$ , $p - b = 3$ , $p - c = 14$ .
$S = 24 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 14 = 7056 = 84$ .

Вписанная окружность и равносторонний треугольник

S = p \cdot r, r = \frac{S}{p}

p

— полупериметр,

r

— радиус вписанной окружности

Стороны $5, 5, 6$ , $S = 12$ : $p = 8$ , $r = \frac{12}{8} = 1, 5$ . Стороны $11, 13, 20$ , $r = 3$ : $p = 22$ , $S = 66$ .

S = \frac{a ^{2} 3}{4}, h = \frac{a 3}{2}

равносторонний треугольник со стороной

a

$a = 27$ : $S = \frac{729 \cdot 1 , 732 \dots}{4} \approx 315, 67$ . $a = 29$ : $h = \frac{29 3}{2} \approx 25, 11$ .

В $S = p \cdot r$ берётся полупериметр. С полным периметром ответ получится вдвое больше.

Треугольник $3, 4, 5$ — проверка памяти: $p = 6$ , $S = 6$ , значит $r = 1$ .

Свойства площади треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: основания равны (половины стороны), высота общая.
Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади.
Если все стороны увеличить в $k$ раз, площадь увеличится в $k^{2}$ раз: вдвое — в 4 раза.
У тупоугольного треугольника высоты, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника — на продолжении стороны.
$S = \frac{1}{2} ab sin C \leq \frac{1}{2} ab$ , причём равенство — при $C = 9 0^{\circ}$ . Поэтому площадь не всегда меньше половины произведения двух сторон: у прямоугольного треугольника она равна половине произведения катетов.

Перед формулой Герона проверьте, существует ли треугольник: каждая сторона меньше суммы двух других. Отрезков $3, 4, 8$ не хватает ( $3 + 4 < 8$ ) — такого треугольника нет, и площади у него нет.

Тема 6 · Геометрия

Правильные многоугольники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Дорожный знак «STOP» — правильный восьмиугольник, гайка — правильный шестиугольник: все стороны и все углы у них одинаковые. Такую фигуру можно разрезать из центра на $n$ одинаковых равнобедренных треугольников — отсюда и все формулы.

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Около него всегда можно описать окружность и в него всегда можно вписать окружность; их центры совпадают.

Углы

Правильный пятиугольник: центральный угол

β = \frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}

R

— до вершины,

r

— до середины стороны

Σ = 18 0^{\circ} (n - 2), α = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}, β = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

n

— число сторон,

Σ

— сумма внутренних углов (любого выпуклого

n

-угольника),

α

— внутренний угол,

β

— центральный угол правильного

n

-угольника

Внешний угол правильного $n$ -угольника равен $18 0^{\circ} - α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — как центральный; сумма внешних углов всегда $36 0^{\circ}$ .

$n$	3	4	5	6	8	10	12
внутренний	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$10 8^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$14 4^{\circ}$	$15 0^{\circ}$
центральный	$12 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$7 2^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$3 6^{\circ}$	$3 0^{\circ}$

Внутренний угол $16 2^{\circ}$ . Сколько сторон?

Внешний угол $18 0^{\circ} - 16 2^{\circ} = 1 8^{\circ}$ .
$n = \frac{36 0 ^{\circ}}{1 8 ^{\circ}} = 20$ .

Сумма углов 19-угольника: $18 0^{\circ} \cdot 17 = 306 0^{\circ}$ . Центральный угол $4 0^{\circ}$ : $n = \frac{360}{40} = 9$ .

Число сторон проще всего искать через внешний (или центральный) угол: $n = \frac{36 0 ^{\circ}}{внешний угол}$ .

Радиусы, периметр, площадь

R = \frac{a}{2 sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}, r = \frac{a}{2 tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}}

a

— сторона,

R

— радиус описанной,

r

— вписанной окружности

$n$	$R$ через $a$	$r$ через $a$
3	$\frac{a 3}{3}$	$\frac{a 3}{6}$
4	$\frac{a 2}{2}$	$\frac{a}{2}$
6	$a$	$\frac{a 3}{2}$

P = n \cdot a, S = \frac{1}{2} P \cdot r

Шестиугольник, $a = 13$ : $r = \frac{13 3}{2} \approx 11, 26$ . Треугольник, $a = 28$ : $R = \frac{28 3}{3} \approx 16, 17$ . Квадрат, $a = 15$ : $R = \frac{15 2}{2} \approx 10, 61$ . 18-угольник, $a = 20$ : $P = 360$ .

У треугольника $R = 2 r$ , у шестиугольника $R = a$ . Не перепутайте: $R$ — до вершины, $r$ — до середины стороны (апофема).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников — поэтому его сторона равна радиусу описанной окружности.

Симметрия и проверка утверждений

У правильного $n$ -угольника ровно $n$ осей симметрии; центр симметрии есть только при чётном $n$ .
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник; правильный четырёхугольник — квадрат.
Ромб, не являющийся квадратом, — не правильный многоугольник: стороны равны, а углы нет.
Внутренний угол правильного многоугольника всегда меньше $18 0^{\circ}$ (многоугольник выпуклый), а с ростом $n$ приближается к $18 0^{\circ}$ .

Тема 7 · Геометрия

Длина окружности и площадь круга

Потренироваться: задания по теме →

Площадь круга Площади, периметры и объёмы

Простыми словами

Если обмотать ниткой банку, а потом измерить нитку, она окажется чуть больше трёх диаметров банки. Для любой окружности это отношение одно и то же — число $π \approx 3, 14$ .

ОкружностьЛиния: все точки на расстоянии

r

от центра. У неё есть длина.

КругЧасть плоскости внутри окружности. У него есть площадь.

Основные формулы

C = 2 π r = π d, S = π r^{2}

C

— длина окружности,

S

— площадь круга,

r

— радиус,

d = 2 r

— диаметр,

π \approx 3, 14

Круг, сектор с центральным углом

α

, кольцо между радиусами

R

r

$r = 5$ : $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 5 = 31, 4$ ; $S = 3, 14 \cdot 25 = 78, 5$ . При $r = 23$ : $S = 3, 14 \cdot 529 = 1661, 06$ .

В площади радиус возводится в квадрат до умножения на $π$ : $π r^{2} \neq = (π r)^{2}$ . И не путайте радиус с диаметром: если дан $d$ , сначала $r = \frac{d}{2}$ .

Дуга, сектор, сегмент, кольцо

Дуга и сектор — это доля $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ от всей окружности или всего круга.

l = 2 π r \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}, S_{сект} = π r^{2} \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}

l

— длина дуги,

α

— центральный угол в градусах

S_{кольца} = π (R^{2} - r^{2})

R

— внешний,

r

— внутренний радиус

Полукруг — сектор в $18 0^{\circ}$ : $S = \frac{π r ^{2}}{2}$ . Круговой сегмент — часть круга, отсекаемая хордой; при дуге меньше полуокружности его площадь = площадь сектора − площадь треугольника.

$r = 18$ , $α = 12 0^{\circ}$ : доля $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ , $S = 3, 14 \cdot 324 \cdot \frac{1}{3} = 339, 12$ .

$r = 19$ , $α = 9 0^{\circ}$ : $l = 2 \cdot 3, 14 \cdot 19 \cdot \frac{1}{4} = 29, 83$ .

$R = 12$ , $r = 7$ : $S = 3, 14 \cdot (144 - 49) = 3, 14 \cdot 95 = 298, 3$ .

Площадь кольца — $π (R^{2} - r^{2})$ , а не $π (R - r)^{2}$ : $(12 - 7)^{2} = 25$ , а нужно $144 - 49 = 95$ .

Удобные доли: $9 0^{\circ}$ — четверть, $12 0^{\circ}$ — треть, $13 5^{\circ}$ — $\frac{3}{8}$ , $6 0^{\circ}$ — шестая, $4 5^{\circ}$ — восьмая часть.

Как меняются длина и площадь

Радиус увеличили в	Длина окружности	Площадь круга
2 раза	в 2 раза	в 4 раза
3 раза	в 3 раза	в 9 раз
$k$ раз	в $k$ раз	в $k^{2}$ раз

Длина зависит от радиуса линейно, площадь — квадратично. Это общее правило для всех подобных фигур.

Тема 8 · Геометрия

Движения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Если перенести лист с рисунком по столу, повернуть его или перевернуть, сам рисунок не исказится: все расстояния останутся прежними. Такие преобразования называют движениями.

Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. При движении отрезок переходит в равный отрезок, прямая — в прямую, угол — в равный угол, треугольник — в равный треугольник, площадь фигуры не меняется.

Четыре вида движений

Осевая симметрияОтносительно прямой

l

: точка переходит в точку по другую сторону

l

на том же перпендикуляре и на том же расстоянии.

Центральная симметрияОтносительно точки

O

O

— середина отрезка

A A^{'}

. Это то же, что поворот на

18 0^{\circ}

Параллельный переносНа вектор

a

: каждая точка сдвигается на один и тот же вектор,

A A^{'} = a

ПоворотВокруг точки

O

на угол

α

O A^{'} = O A

∠ A O A^{'} = α

(по или против часовой стрелки).

Движения в координатах

Образы

A (3; 2)

: относительно

O x

—

(3; - 2)

O y

—

(- 3; 2)

, начала координат —

(- 3; - 2)

, поворот на

9 0^{\circ}

против часовой —

(- 2; 3)

Движение	$(x; y) \to$
перенос на вектор $(p; q)$	$(x + p; y + q)$
симметрия относительно оси $O x$	$(x; - y)$
симметрия относительно оси $O y$	$(- x; y)$
симметрия относительно начала координат	$(- x; - y)$
симметрия относительно точки $(a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$
поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки	$(- y; x)$
поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке	$(y; - x)$

$A (4; 5)$ , поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке: $(y; - x) = (5; - 4)$ . $A (- 5; - 2)$ , симметрия относительно начала координат: $(5; 2)$ .

Проверка поворота: точка из I четверти при повороте на $9 0^{\circ}$ против часовой уходит во II, по часовой — в IV. Координаты меняются местами, и у одной меняется знак.

Возьмём вершину $A$ фигуры $F$ и соответствующую вершину $A^{'}$ фигуры $F^{'}$ .
Сравним координаты: поменялся знак у одной — осевая симметрия; у обеих — центральная; координаты поменялись местами со сменой знака — поворот на $9 0^{\circ}$ ; добавились одинаковые числа ко всем точкам — перенос.
Проверим на второй вершине.

Оси и центр симметрии фигур

Прямая — ось симметрии фигуры, если при симметрии относительно неё фигура переходит в себя. Точка — центр симметрии, если фигура переходит в себя при симметрии относительно этой точки.

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии
равнобедренный треугольник	1	нет
равносторонний треугольник	3	нет
параллелограмм (общий)	0	да — точка пересечения диагоналей
прямоугольник	2	да
ромб	2 (диагонали)	да
квадрат	4	да
равнобедренная трапеция	1	нет
правильный $n$ -угольник	$n$	да, если $n$ чётное
окружность, круг	бесконечно много	да — центр

Диагональ прямоугольника (не квадрата) — не ось симметрии: при отражении относительно неё прямоугольник не совпадает с собой. Его оси проходят через середины противоположных сторон.

Тема 9 · Геометрия

Прямоугольный треугольник и подобие

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников Теорема Пифагора Теорема Пифагора

Простыми словами

Высота, опущенная из прямого угла, разрезает прямоугольный треугольник на два маленьких — и оба подобны большому. Из этого подобия получаются короткие формулы для высоты и катетов, а теорема Пифагора связывает все три стороны.

∠ A = 9 0^{\circ}

A H

— высота;

B H

H C

— проекции катетов

A B

A C

на гипотенузу

Теорема Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c

— гипотенуза,

a, b

— катеты

Обратная теорема: если $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , треугольник прямоугольный. Частые тройки: $3, 4, 5$ ; $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ .

$A C = 20$ , $BC = 15$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ : $A B = 400 + 225 = 25$ . Катет при $BC = 12$ , $A B = 15$ : $A C = 225 - 144 = 9$ .

Высота из прямого угла

h = p \cdot q, A B = c \cdot p, A C = c \cdot q

p = B H

q = H C

— отрезки гипотенузы,

c = p + q

; высота — среднее геометрическое отрезков, катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции

$B H = 54$ , $H C = 24$ : $A H = 54 \cdot 24 = 1296 = 36$ .

$B H = 32$ , $H C = 18$ . Найти катет $A C$ .

Гипотенуза $BC = 32 + 18 = 50$ .
Проекция катета $A C$ — отрезок $H C = 18$ (прилегает к $C$ ).
$A C = 50 \cdot 18 = 900 = 30$ .

Катет берут вместе со своей проекцией — отрезком гипотенузы, прилегающим к этому катету. Для $A B$ это $B H$ , для $A C$ — $H C$ .

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $m = \frac{c}{2}$ . Она же — радиус описанной окружности, центр которой — середина гипотенузы. При $BC = 30$ : $A M = 15$ .

Подобие и средняя линия

Треугольники подобны, если два угла одного равны двум углам другого. Сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом $k$ : стороны, периметры, высоты, медианы относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ с $k = 4$ , $C A = 6$ : $C_{1} A_{1} = 4 \cdot 6 = 24$ .

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине: $MN = \frac{BC}{2}$ . При $BC = 16$ : $MN = 8$ .

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с $k = \frac{1}{2}$ : его периметр вдвое меньше, площадь — в 4 раза меньше.

Тема 10 · Геометрия

Углы и отрезки в окружности

Потренироваться: задания по теме →

Вписанный угол

Простыми словами

Представим круглую сцену: из центра и с края зала смотрят на одну и ту же часть сцены (дугу). Из центра она видна под углом вдвое больше, чем с любого места на краю. Это и есть главное правило темы.

Оба угла опираются на дугу

A B

(зелёная): центральный

12 0^{\circ}

, вписанный

6 0^{\circ}

Центральный угол (вершина в центре $O$ ) равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол (вершина на окружности) равен половине этой дуги — то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB = \frac{1}{2} ⌣ A B

⌣ A B

— градусная мера дуги

A B

Вписанный $∠ A CB = 6 6^{\circ}$ — центральный $∠ A OB = 2 \cdot 6 6^{\circ} = 13 2^{\circ}$ (при $7 5^{\circ}$ — $15 0^{\circ}$ ).
Центральный $7 2^{\circ}$ — вписанный $3 6^{\circ}$ ; центральный $2 2^{\circ}$ — вписанный $1 1^{\circ}$ .

Следствия: диаметр и четырёхугольники

Одна дугаВписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

На диаметрВписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (

18 0^{\circ} : 2

Вписанный четырёхугольникСумма противоположных углов

18 0^{\circ}

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

Описанный четырёхугольникСуммы противоположных сторон равны:

A B + C D = BC + A D

$BC$ — диаметр, $A$ на окружности, $∠ B = 4 7^{\circ}$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ C = 9 0^{\circ} - 4 7^{\circ} = 4 3^{\circ}$ .
$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 1^{\circ}$ , $∠ B = 12 2^{\circ}$ : $∠ D$ противоположен $∠ B$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 12 2^{\circ} = 5 8^{\circ}$ .
$A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 10$ , $A D = 12$ : $C D = BC + A D - A B = 16$ .

Во вписанном четырёхугольнике $A BC D$ противоположны $A$ и $C$ , $B$ и $D$ . Данный $∠ A$ для поиска $∠ D$ не нужен — это лишнее данное.

Касательная и хорда

Слева:

O H ⊥ A B

A H = H B

. Справа:

OT ⊥ PT

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам.

PT = O P^{2} - r^{2} A B = 2 R^{2} - d^{2}

отрезок касательной из точки

P

; хорда на расстоянии

d

от центра окружности радиуса

R

$r = 21$ , $OP = 29$ : в прямоугольном $△ OTP$ $PT = 841 - 441 = 20$ .
$A B = 36$ , $d = 24$ : половина хорды 18, $R = 1 8^{2} + 2 4^{2} = 30$ .
$R = 25$ , $A B = 30$ : $d = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20$ .

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.

Пересекающиеся хорды и угол между касательной и хордой

A E \cdot EB = CE \cdot E D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

E

: произведения отрезков равны

$A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 6$ : $3 \cdot 8 = 6 \cdot E D$ , $E D = 4$ . При $4, 12, 8$ : $E D = 48 : 8 = 6$ .

∠ (касательная, T A) = \frac{1}{2} ⌣ T A

угол между касательной и хордой, проведёнными из точки касания

T

, равен половине дуги внутри угла

Дуга $T A = 15 4^{\circ}$ — угол $7 7^{\circ}$ ; дуга $9 6^{\circ}$ — угол $4 8^{\circ}$ .

Почти всё в теме — «половина дуги»: и вписанный угол, и угол между касательной и хордой. Целая дуга — только у центрального угла.

Тема 11 · Геометрия

Четырёхугольники

Потренироваться: задания по теме →

Площадь параллелограмма Площадь трапеции

Простыми словами

Если сдвинуть верх прямоугольной рамки вбок, получится параллелограмм: стороны те же, а площадь меньше — рамка «просела». Поэтому у параллелограмма площадь считают не по двум сторонам, а по стороне и высоте.

Сумма углов любого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ : диагональ делит его на два треугольника по $18 0^{\circ}$ .

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Слева:

S = a \cdot h

. Справа: средняя линия

m = \frac{a + b}{2}

S = m \cdot h

противоположные стороны равны: $A B = C D$ , $BC = A D$ ;
противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ ;
соседние углы в сумме дают $18 0^{\circ}$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

P = 2 (a + b), S = a \cdot h

a, b

— соседние стороны,

h

— высота, проведённая к стороне $a$

Угол параллелограмма $10 5^{\circ}$ — соседний $18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ . Периметр 22, сторона 4 — соседняя $\frac{22}{2} - 4 = 7$ . Площадь 80, сторона 16 — высота к ней $\frac{80}{16} = 5$ .

Самая частая ошибка — перемножить две соседние стороны. Это площадь прямоугольника, а у параллелограмма она меньше: нужна высота.

Ромб, прямоугольник, квадрат

Фигура	Особое свойство	Площадь
Ромб	все стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам	$S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ или $a \cdot h$
Прямоугольник	все углы прямые, диагонали равны	$S = ab$
Квадрат	и ромб, и прямоугольник сразу	$S = a^{2} = \frac{d ^{2}}{2}$

Диагональ прямоугольника — гипотенуза: $d^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Стороны 3 и 4 — диагональ 5; стороны 5 и 12 — площадь 60.

Площадь ромба 64, одна диагональ 16. Вторая: $d_{2} = \frac{2 S}{d _{1}} = \frac{128}{16} = 8$ . Диагонали 6 и 12 — площадь $\frac{6 \cdot 12}{2} = 36$ .

Каждый квадрат — ромб и прямоугольник, каждый ромб и прямоугольник — параллелограмм. Значит, все свойства параллелограмма у них тоже есть.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Средняя линия соединяет середины боковых сторон; она параллельна основаниям.

m = \frac{a + b}{2}, S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

a, b

— основания,

h

— высота (расстояние между основаниями),

m

— средняя линия

Основания 9 и 17, высота 12: $S = \frac{9 + 17}{2} \cdot 12 = 156$ .

Средняя линия 9, меньшее основание 5. Большее: $2 \cdot 9 - 5 = 13$ .

Площадь 28, основания 12 и 16: $h = \frac{28}{14} = 2$ .

Средняя линия — полусумма оснований, не сумма. Чтобы найти основание по средней линии, удвойте её и вычтите другое основание.

Тема 12 · Геометрия

Треугольник: углы, равнобедренный треугольник, медианы

Потренироваться: задания по теме →

Неравенство треугольника Средняя линия треугольника Сумма углов треугольника

Простыми словами

Треугольник — самая «жёсткая» фигура: три стороны однозначно задают его форму, поэтому из треугольников собирают фермы мостов и крыши. В нём всё связано: зная два угла, сразу узнаём третий, а стороны не могут быть любыми.

Сумма углов любого треугольника: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ .

Два угла $10 9^{\circ}$ и $2 4^{\circ}$ : третий $= 18 0^{\circ} - 10 9^{\circ} - 2 4^{\circ} = 4 7^{\circ}$ . При $∠ A = 8 1^{\circ}$ , $∠ B = 5 6^{\circ}$ : $∠ C = 18 0^{\circ} - 13 7^{\circ} = 4 3^{\circ}$ .

Внешний угол

Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним (сторону продлили за вершину).

Внешний угол при вершине

B

равен

α + γ

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому он больше каждого из них.

Углы $7 9^{\circ}$ и $7 7^{\circ}$ : внешний угол при третьей вершине $= 7 9^{\circ} + 7 7^{\circ} = 15 6^{\circ}$ . Проверка: третий угол $2 4^{\circ}$ , смежный с ним $18 0^{\circ} - 2 4^{\circ} = 15 6^{\circ}$ ✓. При $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 3^{\circ}$ внешний при $C$ равен $11 3^{\circ}$ .

Равнобедренный треугольник

У равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), третья — основание.

СвойствоУглы при основании равны.

ПризнакЕсли два угла равны — треугольник равнобедренный.

Отрезок из вершиныБиссектриса, проведённая к основанию, — это и медиана, и высота.

РавностороннийВсе углы по

18 0^{\circ} : 3 = 6 0^{\circ}

β = \frac{18 0 ^{\circ} - γ}{2} γ = 18 0^{\circ} - 2 β

β

— угол при основании,

γ

— угол при вершине

Угол при основании $5 0^{\circ}$ : при вершине $18 0^{\circ} - 2 \cdot 5 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ . Угол при вершине $8 0^{\circ}$ : при основании $(18 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) : 2 = 5 0^{\circ}$ .

Если сказано просто «угол равнобедренного треугольника $10 0^{\circ}$ » — это угол при вершине: два тупых угла при основании невозможны.

Неравенство треугольника и признаки равенства

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Достаточно проверить: большая сторона $<$ сумма двух меньших.

13, 9, 11: $9 + 11 = 20 > 13$ — треугольник существует.
6, 12, 10: $6 + 10 = 16 > 12$ — существует.
2, 3, 6: $2 + 3 = 5 < 6$ — не существует.

Против большей стороны лежит больший угол (и наоборот).

Признак равенства	Что должно совпасть
Первый	две стороны и угол между ними
Второй	сторона и два прилежащих к ней угла
Третий	три стороны

Медиана и средняя линия

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке $G$ (центр тяжести). Средняя линия соединяет середины двух сторон.

Слева:

CG : GM = 2 : 1

. Справа: средняя линия параллельна основанию и равна его половине

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

Медиана 21: от вершины до $G$ — $\frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ .
От $G$ до стороны 10 — это одна часть из трёх: вся медиана $3 \cdot 10 = 30$ .
Основание 18 — средняя линия 9; средняя линия 15 — основание 30.

Медиана к гипотенузеравна половине гипотенузы:

m = \frac{c}{2}

Биссектрисаделит угол пополам.

Высотаперпендикуляр из вершины к прямой, содержащей сторону. В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне его.

«Два к одному от вершины»: большая часть медианы всегда у вершины.

Третья сторона и треугольник из средних линий

∣ a - b ∣ < c < a + b

третья сторона

c

больше разности и меньше суммы двух других сторон

a

b

Две стороны треугольника 8 и 6. Наибольшее целое значение третьей стороны?

$2 < c < 14$ . Наибольшее целое — $13$ (14 уже нельзя: треугольник «сложится» в отрезок).

Три средние линии образуют треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\frac{1}{2}$ : его периметр вдвое меньше, площадь — в 4 раза меньше.

Стороны $10, 14, 16$ . Периметр треугольника из средних линий: $\frac{10 + 14 + 16}{2} = 20$ .

Тема 13 · Геометрия

Подобие фигур

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников

Простыми словами

Фотография и её увеличенная копия — подобные фигуры: форма та же, все размеры увеличены в одно и то же число раз. Это число — коэффициент подобия $k$ .

Углы равны, стороны больше в

k = \frac{6}{4} = 1, 5

раза

Определение и признаки

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны (лежащие против равных углов) пропорциональны:

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

k

— коэффициент подобия (второй треугольник относительно первого)

По двум угламДва угла одного треугольника равны двум углам другого.

По двум сторонам и углуДве стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

По трём сторонамВсе три стороны пропорциональны.

Сходственные стороны 4 и 6: коэффициент большего к меньшему $k = \frac{6}{4} = 1, 5$ ; меньшего к большему — $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Делите сходственные стороны (против равных углов), а не те, что «стоят на одном месте» на рисунке.

Периметры и площади

Величина	Отношение
стороны, периметры, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы	$k$
площади	$k^{2}$

\frac{P _{2}}{P _{1}} = k, \frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

Периметр 30, $k = 4$ : $P_{2} = 120$ . Периметры 24 и 36: $k = \frac{36}{24} = 1, 5$ .

Площади 12 и 192. Найти $k$ .

$k^{2} = \frac{192}{12} = 16$ .
$k = 16 = 4$ .

Площадь 6, $k = 2$ : $S_{2} = 6 \cdot 2^{2} = 24$ .

Если стороны выросли в 3 раза, площадь выросла в 9 раз, а не в 3. По площадям коэффициент ищут через корень.

Пропорциональные отрезки

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

a : b = c : x \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}

основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

$5 : 11 = 15 : x$ : $x = \frac{11 \cdot 15}{5} = 33$ . $4 : 8 = 12 : x$ : $x = 24$ .

В подобных треугольниках стороне 6 соответствует 12, значит $k = 2$ , и стороне 8 соответствует $16$ . Стороны 3 и 4, сходственная стороне 3 равна 4,5: $k = 1, 5$ , вторая сторона $4 \cdot 1, 5 = 6$ .

На этом же построены задачи про тень: столб и человек вместе со своими тенями образуют подобные прямоугольные треугольники. Средняя линия отсекает треугольник с $k = \frac{1}{2}$ : периметр вдвое меньше, площадь — вчетверо.

Масштаб: план, карта, модель

План участка, карта и модель здания подобны оригиналу. Отношение длин в натуре и на плане — коэффициент подобия $k$ .

Величина	Во сколько раз больше в натуре
длины, периметры	в $k$ раз
площади	в $k^{2}$ раз

Сторона модели 6 см, у здания она 12 м. Какова в натуре сторона, которая на модели 8 см?

$12$ м $= 1200$ см, $k = \frac{1200}{6} = 200$ (или в метрах на сантиметр: $12 : 6 = 2$ м в 1 см).
$8 \cdot 2 = 16$ м.

Если линейные размеры в натуре в 5 раз больше, площадь больше в $5^{2} = 25$ раз, а не в 5.

Тема 14 · Геометрия

Начальные сведения из стереометрии

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Стереометрия — геометрия в пространстве. Коробка, кубик, карандаш, банка — всё это тела. У тела есть объём (сколько в него поместится, например воды) и площадь поверхности (сколько бумаги нужно, чтобы его обклеить).

Объём $V$ Кубические единицы: см³, м³.

1 дм^{3} = 1

литр,

1 м^{3} = 1000 дм^{3}

Площадь поверхности $S$ Квадратные единицы: см², м². Это сумма площадей всех граней (кусков «обёртки»).

Прямоугольный параллелепипед и куб

Прямоугольный параллелепипед («коробка») имеет 6 граней-прямоугольников, 12 рёбер и 8 вершин. Три ребра, выходящие из одной вершины, — его измерения $a$ , $b$ , $c$ (длина, ширина, высота).

Невидимые рёбра — пунктиром. Противоположные грани равны.

V = a \cdot b \cdot c S = 2 (ab + b c + a c)

объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Противоположные грани равны, поэтому каждое из трёх произведений в формуле $S$ встречается дважды. Сумма длин всех рёбер: $4 (a + b + c)$ .

Куб — параллелепипед, у которого все рёбра равны $a$ , все 6 граней — квадраты:

V = a^{3} S = 6 a^{2}

a

— ребро куба

Измерения 9, 4 и 3: $V = 9 \cdot 4 \cdot 3 = 108$ .
$V = 308$ , два измерения 7 и 4: третье $= 308 : (7 \cdot 4) = 308 : 28 = 11$ .
Измерения 6, 7, 7: $S = 2 (6 \cdot 7 + 7 \cdot 7 + 6 \cdot 7) = 2 (42 + 49 + 42) = 266$ .
Коробка $10 \times 5 \times 7$ : бумаги $2 (50 + 35 + 70) = 310$ .
Куб с ребром 13: $V = 1 3^{3} = 2197$ ; куб с ребром 6: $S = 6 \cdot 36 = 216$ .

Если все рёбра увеличить в $k$ раз, объём вырастет в $k^{3}$ раз, а поверхность — в $k^{2}$ раз. Вдвое длиннее рёбра — объём в 8 раз, поверхность в 4 раза.

Прямая призма и цилиндр

У прямой призмы два равных основания-многоугольника и боковые рёбра, перпендикулярные основаниям; длина бокового ребра — высота $h$ . У цилиндра основания — два равных круга радиуса $r$ .

Объём обоих тел: площадь основания × высота

V_{призмы} = S_{осн} \cdot h V_{цил} = π r^{2} h

S_{осн}

— площадь основания,

h

— высота,

r

— радиус основания

S_{бок} = 2 π r h S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2}

боковая поверхность цилиндра — развёрнутый прямоугольник

2 π r \times h

; плюс два круга

Призма: $S_{осн} = 20$ , $h = 3$ , тогда $V = 20 \cdot 3 = 60$ .
Призма: $V = 48$ , $S_{осн} = 24$ , тогда $h = 48 : 24 = 2$ .
Цилиндр: $r = 8$ , $h = 11$ ; $V = π \cdot 64 \cdot 11 = 704 π$ , а $\frac{V}{π} = 704$ .
Цилиндр: $V = 432 π$ , $r = 6$ ; $π \cdot 36 \cdot h = 432 π$ , $h = 432 : 36 = 12$ .

В формуле цилиндра в квадрат возводится только радиус: $π r^{2} h$ , а не $(π r h)^{2}$ . Если дан диаметр, сначала делим его пополам.

Проверка утверждений

Утверждение	Верно?
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений	да
У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин	да
Все грани куба — равные квадраты	да
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту	да
Объём куба с ребром $a$ равен $6 a^{2}$	нет, $a^{3}$ ; $6 a^{2}$ — поверхность

Объём — «три множителя длины» (единицы³), площадь — «два» (единицы²). По степени легко проверить, не перепутаны ли формулы.

Тема 15 · Геометрия

Фигуры на клетчатой бумаге

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Клетчатый лист — готовая линейка: каждая клетка — единица длины. Всё, что идёт по линиям сетки, считается по клеткам, а наклонные отрезки и «кривые» фигуры сводятся к прямоугольным треугольникам.

Если сторона клетки не 1, а, например, 5 мм, длины умножают на 5, а площади — на $5^{2} = 25$ .

Простые фигуры

Если стороны (или основания и высота) идут по линиям сетки, считаем клетки и применяем формулу:

S_{прям} = ab, S_{△} = \frac{a \cdot h}{2}, S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

a, b

— стороны или основания,

h

— высота (по клеткам)

Трапеция: основания 3 и 8 клеток, высота 4 клетки. $S = \frac{3 + 8}{2} \cdot 4 = 22$ .

Периметр фигуры из отрезков по сетке — сумма всех сторон по клеткам (у прямоугольника $2 \times 5$ : $P = 2 (2 + 5) = 14$ ).

У треугольника высоту отсчитывают перпендикулярно основанию: если основание горизонтально, высота — это число клеток по вертикали от основания до третьей вершины, даже если вершина «вылезла» за основание.

Наклонный отрезок

Наклонный отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого идут по клеткам.

A B = a^{2} + b^{2}

a

— сдвиг по горизонтали,

b

— по вертикали (в клетках)

Сдвиг 6 и 8 клеток: $36 + 64 = 10$ . Сдвиг 5 и 12: $25 + 144 = 13$ .

Складывать клетки нельзя: при сдвиге 3 и 4 отрезок равен 5, а не 7.

Сложная фигура: достроить и вычесть

Прямоугольник

7 \times 5 = 35

минус треугольники

7 + 7, 5 + 5

: площадь

A BC

равна

15, 5

Обведём фигуру прямоугольником по линиям сетки: $7 \times 5 = 35$ .
Лишние части — прямоугольные треугольники с катетами по клеткам: $\frac{7 \cdot 2}{2} = 7$ , $\frac{5 \cdot 3}{2} = 7, 5$ , $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5$ .
$S = 35 - (7 + 7, 5 + 5) = 15, 5$ .

Другой путь — разрезать фигуру на прямоугольники, треугольники и трапеции, у которых стороны идут по сетке, и сложить площади.

Подробнее: формула Пика

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки (клетка $1 \times 1$ ): $S = В + \frac{Г}{2} - 1$ , где $В$ — число узлов строго внутри, $Г$ — число узлов на границе. Удобна для проверки ответа.

Ответ с половинкой (15,5; 17,5) — нормально: площадь прямоугольного треугольника с нечётным произведением катетов дробная.

Тема 16 · Геометрия

Верные и неверные геометрические утверждения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Фраза «все птицы летают» опровергается одним пингвином. Так же и в геометрии: чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно одного контрпримера. Чтобы признать утверждение верным, нужна ссылка на определение, свойство или теорему.

«Любой», «всегда», «каждый»Сигнал искать исключение: тупоугольный треугольник, ромб, не являющийся квадратом, и т. п.

«Существует», «можно»Достаточно привести один пример.

Алгоритм

Прочитать утверждение целиком, выделить фигуру и что о ней утверждается.
Вспомнить точную формулировку свойства из учебника и сравнить по словам: «между ними», «прилежащие», «противоположные», «квадрат».
Попробовать нарисовать «неудобную» фигуру: тупоугольный треугольник, ромб с острым углом, неравнобедренную трапецию.
Проверить каждый вариант до конца — верным может оказаться последний.

Высота

C H

тупоугольного треугольника лежит вне его; диагонали ромба перпендикулярны, но не равны

Утверждения, которые верны

Утверждение	Почему
Вертикальные углы равны	оба дополняют один и тот же угол до $18 0^{\circ}$
Сумма смежных углов равна $18 0^{\circ}$	вместе дают развёрнутый угол
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны	свойство равнобедренного треугольника
Диагонали ромба перпендикулярны	свойство ромба
Диагонали прямоугольника равны	свойство прямоугольника
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой	половина развёрнутого угла
В любой треугольник можно вписать окружность	центр — точка пересечения биссектрис

Ловушки: типичные неверные формулировки

Неверно	Контрпример или поправка
Диагонали любого четырёхугольника равны	у ромба (не квадрата) и параллелограмма — не равны
Все ромбы — квадраты	у квадрата углы прямые, у ромба — не обязательно
Любые два прямоугольных треугольника подобны	нужны равные острые углы
Площадь параллелограмма — произведение сторон	нужна высота: $S = a h_{a}$
Высота треугольника всегда лежит внутри него	в тупоугольном две высоты вне его
Площади подобных фигур относятся как $k$	как $k^{2}$
Сумма углов четырёхугольника $18 0^{\circ}$	$36 0^{\circ}$
Объём куба с ребром $a$ равен $3 a$	$a^{3}$
Центр описанной окружности всегда внутри треугольника	у тупоугольного — снаружи

Подмена одного слова делает утверждение неверным: «две стороны и угол» вместо «две стороны и угол между ними» — уже не признак равенства.

Если вопрос «какое утверждение неверно», отметьте у каждого варианта «да/нет» на полях — так легко не перепутать, что ищем.

Ещё верные утверждения

Утверждение	Почему
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна	аксиома планиметрии
В любом треугольнике сумма углов равна $18 0^{\circ}$	теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$	диагональ делит его на два треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке	она делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины
Около любого треугольника можно описать окружность	центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной	свойство касательной
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований	свойство средней линии трапеции
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия	каждое линейное измерение умножается на $k$
Площадь квадрата равна квадрату его стороны	$S = a^{2}$
Прямоугольник — частный случай параллелограмма	у него противоположные стороны параллельны

Ещё ловушки

Неверно	Контрпример или поправка
Если два угла треугольника равны, то треугольник прямоугольный	углы $7 0^{\circ}, 7 0^{\circ}, 4 0^{\circ}$ — треугольник остроугольный; равные углы дают равнобедренный треугольник
Если сторона одного треугольника равна стороне другого, то треугольники равны	одной стороны мало: нужны признаки равенства (три элемента)
Внешний угол треугольника меньше любого внутреннего	внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, — он больше каждого из них
Все равнобедренные треугольники подобны	углы при вершине у них бывают разными
Любой параллелограмм является прямоугольником	у параллелограмма углы не обязательно прямые
У трапеции параллельны обе пары противоположных сторон	тогда это был бы параллелограмм; у трапеции параллельны только основания
Любая хорда окружности проходит через её центр	через центр проходит только хорда-диаметр

«В тупоугольном треугольнике две высоты лежат вне его» — верно: высоты из вершин острых углов падают на продолжения сторон.

Тема 17 · Геометрия

Скалярное произведение векторов

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Скалярное произведение показывает, насколько два вектора «смотрят в одну сторону». Смотрят примерно туда же — число положительное, под прямым углом — ноль, в разные стороны — отрицательное. Результат — число (скаляр), а не вектор.

Знак

a \cdot b

совпадает со знаком

cos α

Две формулы

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

∣ a ∣

∣ b ∣

— длины векторов,

α

— угол между ними

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

a (x_{1}; y_{1})

b (x_{2}; y_{2})

: перемножаем одноимённые координаты и складываем

$a (3; - 4)$ , $b (- 3; - 3)$ : $a \cdot b = 3 \cdot (- 3) + (- 4) \cdot (- 3) = - 9 + 12 = 3$ .

Длины 6 и 6, угол $6 0^{\circ}$ : $6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18$ . Длины 8 и 2, угол $9 0^{\circ}$ : $cos 9 0^{\circ} = 0$ , произведение $0$ .

Частая ошибка — перемножить координаты одного вектора ( $3 \cdot (- 4)$ ). Перемножают одноимённые координаты разных векторов: $x$ на $x$ , $y$ на $y$ .

Следствия

скалярный квадрат: $a \cdot a = ∣ a ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$ ; для $a (6; 2)$ : $36 + 4 = 40$ ;
перпендикулярность: $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$ ;
угол между векторами:

cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}

$a (1; 2)$ , $b (- 4; 2)$ : $a \cdot b = - 4 + 4 = 0$ — векторы перпендикулярны.

Проверяйте ответ по знаку: отрицательный косинус — угол обязательно тупой, ноль — прямой.

Свойства скалярного произведения

Свойство	Запись
не зависит от порядка множителей	$a \cdot b = b \cdot a$
числовой множитель выносится	$(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ : умножили вектор на 2 — произведение удвоилось
скалярный квадрат	$a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ , значит $∣ a ∣ = a \cdot a$
сонаправленные векторы	$cos 0^{\circ} = 1$ : $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ > 0$

$a \cdot b = 0$ не значит, что векторы нулевые: ненулевые векторы дают ноль, когда они перпендикулярны. Единицы скалярного произведения — квадрат единиц длины (как у площади), а не единицы длины.

Навык · Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов: сторона и угол треугольника

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Две палки длиной $b$ и $c$ скреплены шарниром. Чем шире раскрыт угол между ними, тем дальше их свободные концы. Теорема косинусов точно говорит, каким будет это расстояние $a$ при данном угле.

Угол

A

лежит между сторонами

b

c

и напротив стороны

a

Правило

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

b, c

— две стороны,

A

— угол между ними,

a

— сторона напротив угла

A

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

обратная задача: угол по трём сторонам

Угол	$cos$	Формула
$6 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$
$9 0^{\circ}$	$0$	$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ (Пифагор)
$12 0^{\circ}$	$- \frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$

Если $cos A < 0$ , угол $A$ тупой; если $cos A > 0$ — острый.

Примеры

$A B = 15$ , $A C = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найти $BC$ .

$B C^{2} = 1 5^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot (- \frac{1}{2}) = 225 + 81 + 135 = 441$ .
$BC = 21$ .

$A B = 15$ , $A C = 8$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ : $cos 9 0^{\circ} = 0$ , $BC = 225 + 64 = 17$ .

Все стороны равны 20. Найти $cos A$ и $∠ A$ .

$cos A = \frac{400 + 400 - 400}{2 \cdot 20 \cdot 20} = \frac{1}{2}$ .
$∠ A = 6 0^{\circ}$ — как и положено в равностороннем треугольнике.

В формуле минус: при $b = 3$ , $c = 5$ и угле $6 0^{\circ}$ : $a^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 19$ , а не $9 + 25 + 15$ . Минус превращается в плюс только при тупом угле, когда $cos A$ отрицателен.

Подставляют угол, который лежит не между данными сторонами. Угол $A$ в формуле — напротив стороны $a$ и между $b$ и $c$ .

Навык · Геометрия, 9 класс

Теорема синусов и радиус описанной окружности

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Теорема синусов уточняет: стороны относятся друг к другу ровно как синусы противолежащих углов. И это общее отношение — диаметр окружности, проходящей через все три вершины.

Сторона

a = BC

лежит против угла

A

;

a = 2 R sin A

Правило

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

a, b, c

— стороны,

A, B, C

— противолежащие им углы,

R

— радиус описанной окружности

R = \frac{a}{2 sin A}

для радиуса хватает одной стороны и угла напротив неё

Нужные значения: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $sin 9 0^{\circ} = 1$ . Помним: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ .

Примеры

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $BC = 20$ . Найти $A C$ (до сотых).

$BC$ лежит против $A$ , $A C$ — против $B$ : $\frac{A C}{s i n 12 0 ^{\circ}} = \frac{20}{s i n 3 0 ^{\circ}}$ .
$A C = \frac{20 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 203 \approx 34, 64$ .

$BC = 31$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$R = \frac{31}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{31}{3} \approx 17, 90$ .

$BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $R = \frac{7}{3} \approx 4, 04$ .

$\frac{a}{s i n A}$ — это диаметр $2 R$ , а не радиус. При $a = 6$ , $A = 3 0^{\circ}$ : $R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6$ , а не $12$ .

Пары «сторона — угол» всегда противолежащие: подпишите на чертеже, какой угол смотрит на какую сторону, и только потом составляйте пропорцию.

Геометрия: теория

Оглавление

Решение треугольников

Простыми словами

Теорема косинусов

Теорема синусов

Медиана и биссектриса через стороны

Параллелограмм, вид треугольника, проекции

Векторы

Простыми словами

Сложение и вычитание

Умножение на число и длина суммы

Свойства сложения и нулевой вектор

Площади треугольников и радиусы окружностей

Простыми словами

Формула Герона и высоты

Радиусы вписанной и описанной окружностей

Площадь через синус угла

Отношения площадей

Медианы и площадь

Координаты вектора. Координатный метод

Простыми словами

Координаты и длина вектора

Середина отрезка и действия с векторами

Уравнение окружности

Коллинеарность и уравнение прямой

Векторы и метод координат

Простыми словами

Скалярное произведение

Векторы в фигурах

Уравнение прямой

Уравнение окружности

Метод координат

Параметр в векторе и основание перпендикуляра

Синус, косинус и тангенс угла

Простыми словами

Таблица значений

Основное тригонометрическое тождество

Углы от 0° до 180°

Вписанные и правильные многоугольники

Простыми словами

Вписанный и описанный четырёхугольник

Правильный многоугольник

Углы и диагонали

Длина дуги и площади частей круга

Теорема синусов и теорема косинусов

Простыми словами

Теорема косинусов

Угол по трём сторонам

Теорема синусов и радиус описанной окружности

Стороны и углы: что ещё нужно знать

Метрические соотношения в окружности

Простыми словами

Хорды, секущие, касательная

Углы и дуги

Хорда и радиус

Две окружности

Взаимное расположение двух окружностей

Площадь треугольника

Простыми словами

Пять формул площади

Сторона, высота, площадь

Через угол и через три стороны

Вписанная окружность и равносторонний треугольник

Свойства площади треугольника

Правильные многоугольники

Простыми словами

Углы

Радиусы, периметр, площадь

Симметрия и проверка утверждений

Длина окружности и площадь круга

Простыми словами

Основные формулы

Дуга, сектор, сегмент, кольцо

Как меняются длина и площадь

Движения

Простыми словами

Четыре вида движений

Движения в координатах

Оси и центр симметрии фигур