Навык · Геометрия, 9 класс

Теорема синусов и радиус описанной окружности

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R: как найти сторону, угол или радиус.

Правило за 30 секундСтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Это отношение равно диаметру описанной окружности 2R. Чтобы найти R, достаточно одной стороны и противолежащего ей угла: R = a/(2 sin A).

Родителю: как помочь с темой «Теорема синусов и радиус описанной окружности»

В теме 2 подтемы: Теорема синусов, Радиус описанной окружности.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Теорема синусов уточняет: стороны относятся друг к другу ровно как синусы противолежащих углов. И это общее отношение — диаметр окружности, проходящей через все три вершины.

Сторона

a = BC

лежит против угла

A

;

a = 2 R sin A

Правило

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

a, b, c

— стороны,

A, B, C

— противолежащие им углы,

R

— радиус описанной окружности

R = \frac{a}{2 sin A}

для радиуса хватает одной стороны и угла напротив неё

Нужные значения: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2 www.reknow.ru}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ , $sin 9 0^{\circ} = 1$ . Помним: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ .

Примеры

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $BC = 20$ . Найти $A C$ (до сотых).

$BC$ лежит против $A$ , $A C$ — против $B$ : $\frac{A C}{s i n 12 0 ^{\circ}} = \frac{20}{s i n 3 0 ^{\circ}}$ .
$A C = \frac{20 \cdot \frac{3 www.reknow.ru}{2}}{\frac{1}{2}} = 20 3 www.reknow.ru \approx 34, 64$ .

$BC = 31$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$R = \frac{31}{2 \cdot \frac{3 www.reknow.ru}{2}} = \frac{31}{3 www.reknow.ru} \approx 17, 90$ .

$BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $R = \frac{7}{3 www.reknow.ru} \approx 4, 04$ .

$\frac{a}{s i n A}$ — это диаметр $2 R$ , а не радиус. При $a = 6$ , $A = 3 0^{\circ}$ : $R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6$ , а не $12$ .

Пары «сторона — угол» всегда противолежащие: подпишите на чертеже, какой угол смотрит на какую сторону, и только потом составляйте пропорцию.

Навык — часть темы «Теорема синусов и теорема косинусов». Вся тема с теорией и заданиями →

Серия: 0

Теорема синусов и радиус описанной окружности

Простыми словами

Правило

Примеры

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю