Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 1. Планиметрия

Треугольник, четырёхугольник и окружность: длины, углы, площади. 1 балл · базовый уровень · 3 минуты. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Задание 1. Планиметрия»

В теме 6 подтем: Прямоугольный треугольник, Площадь треугольника, Четырёхугольники, Окружность, Подобие, Углы фигур.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Задание 1 профильного ЕГЭ — короткая задача по геометрии на плоскости: найти сторону, угол или площадь. Решается в одно-два действия, если помнить нужную формулу. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; 1 балл, рассчитано примерно на 3 минуты.

Темы задания: прямоугольный треугольник, площади треугольника и четырёхугольников, углы фигур, окружность (вписанные и центральные углы), подобие.

Прямоугольный треугольник

c^{2} = a^{2} + b^{2}, S = \frac{ab}{2}

теорема Пифагора и площадь по катетам

где $a$ , $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза (против прямого угла).

$sin A = \frac{a}{c}$ (противолежащий катет к гипотенузе), $cos A = \frac{b}{c}$ (прилежащий к гипотенузе), $tg A = \frac{a}{b}$ (противолежащий к прилежащему). Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — это радиус описанной окружности.

Катеты 15 и 20 — гипотенуза: $1 5^{2} + 2 0^{2} www.reknow.ru = 625 www.reknow.ru = 25$ .
Гипотенуза 29, катет 20 — второй катет: $2 9^{2} - 2 0^{2} www.reknow.ru = (29 - 20) (29 + 20) www.reknow.ru = 441 www.reknow.ru = 21$ .

Пифагоровы тройки: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ ; $20, 21, 29$ и кратные ( $15, 20, 25 = 5 \cdot (3, 4, 5)$ ).

Площади

Фигура	Формула
Треугольник	$S = \frac{1}{2} a h_{a}$ ; $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ; $S = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru$ (Герон)
Параллелограмм	$S = a h_{a}$ ; $S = ab sin α$
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

$a, b$ — стороны (у трапеции — основания), $h_{a}$ — высота к стороне $a$ , $C$ и $α$ — угол между сторонами, $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $d_{1}, d_{2}$ — диагонали.

Сторона 10, высота к ней 11: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 11 = 55$ .
$S = 45$ , сторона 15: $h = \frac{2 S}{a} = \frac{90}{15} = 6$ .
Параллелограмм, сторона 4, высота 10: $S = 40$ . Площадь 56, сторона 7: $h = 56 : 7 = 8$ .

В треугольнике $h = \frac{2 S}{a}$ — не забудьте двойку. В параллелограмме $h = \frac{S}{a}$ .

Углы и окружность

Сумма углов треугольника

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

Внешний уголравен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (или

18 0^{\circ}

минус смежный)

Вписанный уголравен половине центрального, опирающегося на ту же дугу

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB

: оба опираются на дугу

A B

(выделена)

Центральный угол $8 0^{\circ}$ — вписанный $4 0^{\circ}$ . Вписанный $5 5^{\circ}$ — центральный $11 0^{\circ}$ .
Углы треугольника $4 9^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ : третий $18 0^{\circ} - 9 4^{\circ} = 8 6^{\circ}$ .
$∠ A = ∠ B = 6 7^{\circ}$ : внешний угол при $C$ равен $6 7^{\circ} + 6 7^{\circ} = 13 4^{\circ}$ .

Ещё факты: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой; радиус в точку касания перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны; для пересекающихся хорд $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ ; теорема синусов $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ ( $R$ — радиус описанной окружности); для вписанной окружности $S = p \cdot r$ .

Подобие

У подобных фигур с коэффициентом $k$ стороны, периметры, высоты, медианы относятся как $k$ , а площади — как $k^{2}$ .

Сходственные стороны 18 и 72: $k = \frac{72}{18} = 4$ .
$k = 3$ , меньшая сторона 6: сходственная ей $6 \cdot 3 = 18$ .

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине (отсекает подобный треугольник с $k = \frac{1}{2}$ ); средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$ , а не как $k$ : при $k = 3$ площадь больше в 9 раз.

Ещё факты для задания 1

Факт	Формула или пример
сумма углов выпуклого $n$ -угольника	$18 0^{\circ} (n - 2)$ : у 12-угольника $180 0^{\circ}$
угол правильного $n$ -угольника; внешний угол	$\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ ; внешние углы в сумме $36 0^{\circ}$ , у правильного каждый $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$
вписанный четырёхугольник	сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$
параллелограмм, ромб	соседние углы в сумме $18 0^{\circ}$ ; $P = 2 (a + b)$
катет против угла $3 0^{\circ}$	равен половине гипотенузы
высота к гипотенузе	$h = \frac{ab}{c}$ (из $S = \frac{ab}{2} = \frac{c h}{2}$ )
медиана треугольника	делит его на две равновеликие части
хорда на расстоянии $d$ от центра	$\frac{хорда}{2} = R^{2} - d^{2} www.reknow.ru$
касательная из точки на расстоянии $d$ от центра	$d^{2} - R^{2} www.reknow.ru$
диагональ прямоугольника $a \times b$	$a^{2} + b^{2} www.reknow.ru$

Посмотреть и посчитать

Модели

Вписанный угол

Серия: 0