Задание 2. Векторы — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 2. Векторы

Координаты, длина, сумма, скалярное произведение и угол между векторами. 1 балл · базовый уровень · 3 минуты. 100 заданий.

Простыми словами

Вектор — это «перемещение»: стрелка, у которой есть длина и направление. Вектор $(3; 2)$ означает «3 шага вправо и 2 вверх» — неважно, откуда начинать. Задание 2 — короткие вычисления с координатами векторов. 1 балл, около 3 минут.

Координаты и длина

\overset{www.reknow.ru}{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}), ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ = x^{2} + y^{2} www.reknow.ru

координаты вектора по началу и концу; длина вектора

где $A (x_{1}; y_{1})$ — начало, $B (x_{2}; y_{2})$ — конец; $\overset{a}{www.reknow.ru} = (x; y)$ . Из координат конца вычитаем координаты начала. Длина — по теореме Пифагора, она не бывает отрицательной.

$A (- 4; 4)$ , $B (3; - 1)$ : $\overset{www.reknow.ru}{A B} = (3 - (- 4); - 1 - 4) = (7; - 5)$ . Первая координата — $7$ .
$A (3; - 6)$ , $B (5; 2)$ : вторая координата $2 - (- 6) = 8$ .
Длина $\overset{a}{www.reknow.ru} (6; 8)$ : $36 + 64 www.reknow.ru = 10$ .

Вычитание отрицательного числа: $3 - (- 4) = 7$ , а не $- 1$ . Ставьте скобки.

Действия с векторами

Правило треугольника: конец

\overset{a}{www.reknow.ru}

— начало

\overset{www.reknow.ru}{b}

. Координаты складываются по отдельности

Действие	Формула
Сумма	$\overset{a}{www.reknow.ru} + \overset{www.reknow.ru}{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$
Разность	$\overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$
Умножение на число	$k \overset{a}{www.reknow.ru} = (k x; k y)$
Коллинеарность	$\overset{a}{www.reknow.ru} ∥ \overset{www.reknow.ru}{b} ⟺ x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$

$\overset{a}{www.reknow.ru} (1; 4) + \overset{www.reknow.ru}{b} (3; 2) = (4; 6)$ — первая координата $4$ . $\overset{a}{www.reknow.ru} (2; 4) + \overset{www.reknow.ru}{b} (1; 7) = (3; 11)$ — вторая $11$ . $2 \overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b}$ для $\overset{a}{www.reknow.ru} (2; 4)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (1; 7)$ : $(4 - 1; 8 - 7) = (3; 1)$ .

Скалярное произведение и угол

\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ \cdot ∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣ \cdot cos α

скалярное произведение

cos α = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} www.reknow.ru \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} www.reknow.ru}

косинус угла между векторами

$α$ — угол между векторами ( $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ ). Скалярное произведение — число, а не вектор: $> 0$ — угол острый, $= 0$ — векторы перпендикулярны, $< 0$ — угол тупой. $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2}$ .

$\overset{a}{www.reknow.ru} (0; - 2) \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} (3; 0) = 0 \cdot 3 + (- 2) \cdot 0 = 0$ — векторы перпендикулярны.
$\overset{a}{www.reknow.ru} (5; 6) \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} = 25 + 36 = 61$ .
$\overset{a}{www.reknow.ru} (1; 1)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (2; 2)$ : $\overset{www.reknow.ru}{b} = 2 \overset{a}{www.reknow.ru}$ — сонаправлены, угол $0^{\circ}$ . Проверка: $cos α = \frac{4}{2 www.reknow.ru \cdot 8 www.reknow.ru} = \frac{4}{4} = 1$ .
$\overset{a}{www.reknow.ru} (1; 0)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (1; 1)$ : $cos α = \frac{1}{1 \cdot 2 www.reknow.ru} \approx 0, 707 \approx 0, 71$ (угол $4 5^{\circ}$ ).

Если $\overset{www.reknow.ru}{b} = k \overset{a}{www.reknow.ru}$ при $k < 0$ , векторы противоположно направлены: угол $18 0^{\circ}$ , а не $0^{\circ}$ .

Скалярное произведение — «перемножь по парам и сложи»: $x$ с $x$ , $y$ с $y$ .

Ещё о векторах

Середина отрезка $A B$ : $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ ; расстояние $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} www.reknow.ru$ .
Противоположный вектор $- \overset{a}{www.reknow.ru} = (- x; - y)$ ; угол между $\overset{a}{www.reknow.ru}$ и $- \overset{a}{www.reknow.ru}$ равен $18 0^{\circ}$ .
Правило параллелограмма: в параллелограмме $A BC D$ $\overset{www.reknow.ru}{A B} + \overset{www.reknow.ru}{A D} = \overset{www.reknow.ru}{A C}$ .
$∣ k \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣$ ; $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot (k \overset{www.reknow.ru}{b}) = k (\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b})$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложение векторов

Примеры заданий 2 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Даны точки A(−4; 4) и B(3; −1). Найдите первую координату вектора AB.

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. x = 3 − (−4) = 7.

Даны точки A(3; −6) и B(5; 2). Найдите вторую координату вектора AB.

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. y = 2 − (−6) = 8.

Найдите квадрат длины вектора a(4; 3).

Показать ответ

Ответ: 25
Решение. |a|² = 4² + 3² = 25.

Длина вектора a(x; 5) равна 13, а x > 0. Найдите x.

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. x² = 13² − 5² = 144, значит x = 12.

Найдите длину вектора с координатами (−9; 12).

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Знак на длину не влияет: √(9² + 12²) = 15.

Даны векторы a(2; 4) и b(1; 7). Найдите вторую координату вектора a + b.

Показать ответ

Ответ: 11
Решение. 4 + (7) = 11.

Найдите скалярное произведение вектора a(5; 6) на себя.

Показать ответ

Ответ: 61
Решение. a·a = |a|² = 5² + 6² = 61.

Найдите косинус угла между векторами a(1; 0) и b(1; 1). Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,71
Решение. cos α = 1 : (1 · 1,41) = 0,71.