Задание 7. Уравнения — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 7. Уравнения

Показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические. 1 балл · базовый уровень · 2 минуты. 100 заданий.

Простыми словами

Каждое уравнение задания 7 — «замок» одного типа, и к каждому есть свой «ключ»: у степеней — одинаковые основания, у логарифма — определение логарифма, у корня — возведение в квадрат. Узнали тип — применили ключ — проверили ответ.

Решение простейших уравнений. 1 балл, ответ — одно число. Если корней несколько, в условии сказано, какой записать (например, наименьший положительный).

Показательные уравнения

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x) (a > 0, a \neq = 1)

одинаковые основания — приравниваем показатели

Обе части приводят к одному основанию $a$ . Пригодится: $a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a www.reknow.ru = a^{0, 5}$ .

$2^{x - 2} = 2^{1}$ $\Rightarrow$ $x - 2 = 1$ , $x = 3$ .
$5^{3 x} = 125$ : $125 = 5^{3}$ , значит $3 x = 3$ , $x = 1$ .
$(\frac{1}{3})^{x} = 9$ : $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ , $9 = 3^{2}$ $\Rightarrow$ $- x = 2$ , $x = - 2$ .

Логарифмические уравнения

lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}

по определению логарифма;

a > 0, a \neq = 1

$lo g_{10} (x + 5) = 1$ $\Rightarrow$ $x + 5 = 1 0^{1}$ , $x = 5$ .
$lo g_{3} (x - 5) = 1$ $\Rightarrow$ $x - 5 = 3$ , $x = 8$ .

Под логарифмом должно стоять положительное число. Корень, при котором выражение под логарифмом $\leq 0$ , — посторонний. Проверка: $x = 8$ даёт $lo g_{3} 3$ — подходит.

Иррациональные уравнения

f (x) www.reknow.ru = b ⟺ f (x) = b^{2} (b \geq 0)

при

b < 0

корней нет: корень не бывает отрицательным

$8 x + 76 www.reknow.ru = 14$ $\Rightarrow$ $8 x + 76 = 196$ , $8 x = 120$ , $x = 15$ .
$x + 2 www.reknow.ru = 6$ $\Rightarrow$ $x + 2 = 36$ , $x = 34$ .

Если справа стоит выражение с $x$ ( $x + 6 www.reknow.ru = x$ ), после возведения в квадрат могут появиться лишние корни. Проверка подстановкой обязательна: из корней $3$ и $- 2$ подходит только $3$ .

Тригонометрические уравнения

Уравнение	Решения ( $n \in Z$ )
$sin x = a$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$
$sin x = 0$	$x = πn$ ( $0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ )
$cos x = 1$	$x = 2 πn$ ( $0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ )

Для $sin x = a$ и $cos x = a$ решения есть только при $- 1 \leq a \leq 1$ .

cos x = \frac{1}{2}

x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Наименьший положительный корень $sin x = 0$ : серия $0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ — ответ $180$ . Для $cos x = 1$ : $0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ — ответ $360$ (ноль не положителен!).

Выпишите серию и подставьте $n = 0, \pm 1, \pm 2$ — нужный корень (наибольший отрицательный, наименьший положительный) сразу виден.

Рациональные уравнения

Линейное уравнение решают переносом слагаемых; дробь — умножением на знаменатель (знаменатель $\neq = 0$ ).

$6 x + 12 = 6$ $\Rightarrow$ $6 x = - 6$ , $x = - 1$ .
$\frac{x - 3}{7} = - 4$ $\Rightarrow$ $x - 3 = - 28$ , $x = - 25$ .
Квадратное: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , корни $2$ и $3$ ; если просят меньший — ответ $2$ .

Ещё три вида

Кубический корень определён для любого числа: $3 x + 7 www.reknow.ru = 6 \Rightarrow x + 7 = 216$ , $x = 209$ .
Модуль: $∣ x ∣ = a$ при $a > 0$ даёт $x = \pm a$ ; при $a < 0$ корней нет.
Дробь равна нулю, только когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Уравнение $\frac{9}{x - 8} = 0$ корней не имеет.

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Калькуляторы

Логарифмы

Примеры заданий 7 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите корень уравнения 2^{x − 2} = 2¹.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Основания равны, значит показатели равны: x − (2) = 1, x = 3.

Найдите корень уравнения 5^3x = 125.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. 125 = 5³, значит 3x = 3, x = 1.

Найдите корень уравнения (15)^x = 5.

Показать ответ

Ответ: -1
Решение. (15)^x = 5^−x = 5¹, значит −x = 1, x = −1.

Найдите корень уравнения 2^x² = 512, больший нуля.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 512 = 2⁹, значит x² = 9 и x = 3.

Найдите корень уравнения log₁₀(x + 5) = 1.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. x + 5 = 10¹ = 10, значит x = 5. Проверка: 10 > 0 — корень подходит.

Найдите корень уравнения √(8x + 76) = 14.

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Возводим в квадрат: 8x + 76 = 196, значит 8x = 120, x = 15. Проверка: правая часть неотрицательна, корень подходит.

Найдите наименьший положительный корень уравнения sin x = 0 (в градусах).

Показать ответ

Ответ: 180
Решение. sin x = 0 при x = 180°n; наименьший положительный — 180°.

Найдите корень уравнения 6x + 12 = 6.

Показать ответ

Ответ: -1
Решение. 6x = −6, x = −1.