Задание 10. Прикладная задача — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 10. Прикладная задача

Расчёт по формуле из физики, техники и экономики. 1 балл · повышенный уровень · 5 минут. 100 заданий.

Простыми словами

Инженер даёт формулу и говорит: «Вот закон, вот числа — найди недостающее». Физику знать не нужно: всё необходимое уже в условии. Задача — аккуратно подставить числа и решить получившееся уравнение.

Умение работать с формулой: подставить значения, выразить неизвестную величину, решить линейное, квадратное или показательное уравнение (иногда неравенство). 1 балл.

Алгоритм

Выписать формулу и все данные с единицами измерения.
Подставить всё известное.
Выразить неизвестное и решить уравнение.
Проверить единицы и здравый смысл (время не отрицательно, масса положительна).

Если спрашивают «наибольшее» или «наименьшее» значение, при котором выполняется условие, решают неравенство; ответ — обычно граница найденного промежутка.

Линейные зависимости

Скорость при равноускоренном движении: $v = v_{0} + a t$ , где $v_{0}$ — начальная скорость (м/с), $a$ — ускорение (м/с²), $t$ — время (с).

$v = 15 + 3 t$ , $t = 9$ : $v = 15 + 27 = 42$ м/с.
$v = 24 + 6 t$ , $v = 42$ : $24 + 6 t = 42$ , $6 t = 18$ , $t = 3$ с.

Квадратичные формулы

Высота тела, брошенного вверх: $h = v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}$ , где $g \approx 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При $g = 10$ получается $h = v_{0} t - 5 t^{2}$ .

h = 20 t - 5 t^{2}

: тело поднимается на 20 м и возвращается на землю через 4 с

$h = 40 t - 5 t^{2}$ , $t = 1$ : $h = 40 - 5 = 35$ м.
$h = 20 t - 5 t^{2}$ , когда тело вернётся на землю? $h = 0$ : $5 t (4 - t) = 0$ , $t = 0$ (старт) или $t = 4$ . Ответ: $4$ с.

У квадратного уравнения часто два корня. Выбирайте тот, что подходит по смыслу: $t = 0$ — момент броска, а не ответ.

Проценты и рост

A = A_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

сложные проценты:

A_{0}

— начальная сумма,

p

— процент за период,

n

— число периодов

Цена $100000$ ₽ выросла на 10%: $100000 \cdot 1, 1 = 110000$ .
Вклад $200000$ ₽, 25% в год, 3 года: $200000 \cdot 1, 2 5^{3} = 200000 \cdot 1, 953125 = 390625$ .

Подробнее: другие частые формулы

Закон Ома	$I = \frac{U}{R}$ ( $I$ — сила тока, А; $U$ — напряжение, В; $R$ — сопротивление, Ом)
Кинетическая энергия	$E = \frac{m v ^{2}}{2}$ ( $m$ — масса, кг; $v$ — скорость, м/с; $E$ — Дж)
Нагрев	$T = T_{0} + k t$ ( $T_{0}$ — начальная температура, $k$ — скорость нагрева)
Путь	$s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$

Ещё формулы и проценты

Мощность $P = F \cdot v$ ( $F$ — сила, Н; $v$ — скорость, м/с); давление $p = \frac{F}{S}$ ( $S$ — площадь, м²); путь из покоя $s = \frac{a t ^{2}}{2}$ .
Наибольшая высота тела $h = v_{0} t - 5 t^{2}$ — в вершине параболы: $t_{0} = \frac{v _{0}}{10}$ . Для $h = 40 t - 5 t^{2}$ : $t_{0} = 4$ , $h = 160 - 80 = 80$ м.
$p %$ от числа $A$ : $A \cdot \frac{p}{100}$ ; число по его части: если $p %$ числа равны $B$ , то число равно $\frac{B \cdot 100}{p}$ ; сколько процентов $B$ составляет от $A$ : $\frac{B}{A} \cdot 100%$ .
На сколько процентов изменилась величина: $\frac{A _{нов} - A}{A} \cdot 100%$ . Простые проценты начисляются только на начальную сумму, сложные — и на прирост.

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложный процент

Примеры заданий 10 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Скорость тела меняется по закону v = 15 + 3t (мс). Найдите скорость через 9 с.

Показать ответ

Ответ: 42
Решение. v = 15 + 3·9 = 42 мс.

Скорость тела меняется по закону v = 24 + 6t (мс). Через сколько секунд скорость достигнет 42 мс?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 24 + 6t = 42, откуда t = 3 с.

Температура тела меняется по закону T = 25 + 6t (°C). Найдите температуру через 7 минут.

Показать ответ

Ответ: 67
Решение. T = 25 + 6·7 = 67 °C.

Температура растёт по закону T = 24 + 3t. Через сколько минут она станет не меньше 48 °C? В ответ запишите наименьшее целое число минут.

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. 24 + 3t ≥ 48 даёт t ≥ 8; наименьшее целое — 8.

Стоимость поездки вычисляется по формуле C = 25 + 2·s, где s — километры. Найдите стоимость поездки на 8 км.

Показать ответ

Ответ: 41
Решение. C = 25 + 2·8 = 41 рублей.

Стоимость поездки C = 25 + 2·s рублей. На сколько километров хватит 37 рублей?

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. 2s = 12, s = 6 км.

Высота тела меняется по закону h = 40t − 5t² (м). Найдите высоту через 1 с.

Показать ответ

Ответ: 35
Решение. h = 40·1 − 5·1² = 35 м.

Вклад 200000 рублей растёт на 25% в год. Какая сумма будет на счёте через 3 года? Ответ округлите до целых.

Показать ответ

Ответ: 390625
Решение. A = 200000·(1 + 25100)^3 = 390625 рублей.