Задание 11. Текстовая задача — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 11. Текстовая задача

Движение, работа, сплавы и смеси, проценты. 1 балл · повышенный уровень · 6 минут. 100 заданий.

Простыми словами

Почти все текстовые задачи устроены одинаково: одна величина = другая × третья. Путь = скорость × время, работа = производительность × время, масса вещества = масса раствора × доля. Узнаём модель — заполняем таблицу — составляем уравнение.

Умение перевести условие на язык уравнения и решить его. 1 балл, ответ — число (единицы измерения в ответ не пишут).

Движение

s = v \cdot t

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч)

Навстречускорость сближения

v_{1} + v_{2}

Вдогонкускорость сближения

v_{1} - v_{2}

По течению

v + u

, где

u

— скорость течения

Против течения

v - u

Время до встречи:

t = \frac{300}{60 + 40} = 3

Ехал 3 ч со скоростью 70 км/ч: $s = 70 \cdot 3 = 210$ км.
80 км за 2 ч: $v = \frac{80}{2} = 40$ км/ч.

Лодка прошла 24 км по течению и вернулась, потратив на весь путь 5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть $v$ — скорость лодки. Время: $\frac{24}{v + 2} + \frac{24}{v - 2} = 5$ .
$24 (v - 2) + 24 (v + 2) = 5 (v^{2} - 4)$ , то есть $5 v^{2} - 48 v - 20 = 0$ .
$D = 4 8^{2} + 400 = 2704 = 5 2^{2}$ , $v = \frac{48 + 52}{10} = 10$ (второй корень отрицательный). Ответ: $10$ .

Работа и производительность

A = p \cdot t

A

— работа,

p

— производительность (работа за единицу времени),

t

— время

При совместной работе производительности складываются. Если вся работа неизвестна, её принимают за $1$ .

15 деталей в час, 5 ч: $A = 15 \cdot 5 = 75$ .
120 деталей за 8 ч: $p = \frac{120}{8} = 15$ деталей в час.
Одна труба наполняет бак за 6 ч, другая — за 3 ч. Вместе: $p = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ , время $t = \frac{1}{1/2} = 2$ ч.

Если один делает работу за $a$ ч, другой — за $b$ ч, то вместе они справятся за $\frac{ab}{a + b}$ ч.

Смеси, сплавы, растворы

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{p}{100}

p

— концентрация в процентах

Считают не проценты, а массу чистого вещества: при смешивании она складывается, при доливании воды не меняется.

500 г раствора, 25% соли: $500 \cdot 0, 25 = 125$ г.
50 г соли в 200 г раствора: $\frac{50}{200} \cdot 100% = 25%$ .
Смешали 4 л 15%-го и 6 л 25%-го раствора: вещества $0, 6 + 1, 5 = 2, 1$ л из $10$ л, концентрация $21%$ .

Концентрации нельзя просто складывать или усреднять: $15%$ и $25%$ дают $20%$ только при равных массах растворов.

Как составить уравнение

	$v$ (или $p$ )	$t$	$s$ (или $A$ )
1-й участник	$x$	$\frac{s}{x}$	$s$
2-й участник	$x + 10$	$\frac{s}{x + 10}$	$s$

Обозначьте неизвестное буквой, заполните таблицу и составьте уравнение по той величине, которую в условии сравнивают («на 2 часа быстрее», «на 3 детали больше»).

Протяжённый объект

Поезд длиной $L$ проезжает мимо столба за время $t$ : он проходит путь, равный своей длине, $v = \frac{L}{t}$ . Мимо платформы длиной $l$ — путь $L + l$ . Собственная скорость лодки — скорость по течению минус скорость течения.

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение

Примеры заданий 11 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 70 кмч. Какое расстояние он проехал?

Показать ответ

Ответ: 210
Решение. s = 70 · 3 = 210 км.

Расстояние 80 км автомобиль прошёл за 2 ч. Найдите его скорость.

Показать ответ

Ответ: 40
Решение. v = 80 : 2 = 40 кмч.

Расстояние 120 км автомобиль прошёл со скоростью 60 кмч. Сколько часов он был в пути?

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. t = 120 : 60 = 2 ч.

Из двух городов навстречу друг другу выехали автомобили со скоростями 50 и 45 кмч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между городами 475 км?

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Скорость сближения 95 кмч; t = 475 : 95 = 5 ч.

Автомобиль со скоростью 60 кмч догоняет автомобиль со скоростью 45 кмч. Найдите скорость сближения.

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. 60 − 45 = 15 кмч.

Лодка идёт по течению со скоростью 13 кмч. Собственная скорость лодки 10 кмч. Найдите скорость течения.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 13 − 10 = 3 кмч.

Рабочий делает 15 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 5 ч?

Показать ответ

Ответ: 75
Решение. 15 · 5 = 75 деталей.

В растворе массой 500 г содержится 25% соли. Найдите массу соли.

Показать ответ

Ответ: 125
Решение. 500 · 25 : 100 = 125 г.