Задание 19. Задача с параметром — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 19. Задача с параметром

Число решений уравнения и системы в зависимости от параметра. 4 балла · высокий уровень · 35 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Параметр — это буква, которая играет роль числа, но число заранее не задано. Как ручка громкости: крутим $a$ — и уравнение меняется. Вопрос задачи: при каких положениях «ручки» у уравнения нужное число решений.

Исследование уравнения, неравенства или системы при всех значениях параметра. 4 балла, высокий уровень; баллы ставят и за частично верное обоснованное решение.

Три рабочих подхода

Аналитическийдискриминант, теорема Виета, условия на корни

Графическийстроим

y = f (x)

и прямую

y = a

, считаем точки пересечения

«Параметр как переменная»выражаем

a

через

x

и исследуем функцию

a (x)

или рисуем на плоскости

(x; a)

Квадратное уравнение с параметром

D = b^{2} - 4 a c

D > 0

— два корня,

D = 0

— один,

D < 0

— корней нет

$x^{2} - 3 x + a = 0$ имеет ровно один корень: $D = 9 - 4 a = 0$ , $a = 2, 25$ .
$x^{2} - 8 x + a = 0$ не имеет корней: $64 - 4 a < 0$ , $a > 16$ . Наименьшее целое такое $a$ — $17$ .

Если параметр стоит при $x^{2}$ ( $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ), случай $a = 0$ разбирают отдельно: уравнение становится линейным и имеет один корень $x = - \frac{1}{2}$ , хотя «формула дискриминанта» об этом молчит.

Для $x^{2} + p x + q = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . Корни разных знаков $⟺ q < 0$ ; оба положительны $⟺ D \geq 0, - p > 0, q > 0$ .

Графический метод

Уравнение $f (x) = a$ читаем так: горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график $y = f (x)$ . Число решений = число точек пересечения.

∣ x^{2} - 4∣ = a

: нет решений при

a < 0

, два при

a = 0

, четыре при

0 < a < 4

, три при

a = 4

, два при

a > 4

$∣ x ∣ = 6$ : прямая $y = 6$ пересекает «галочку» $y = ∣ x ∣$ в двух точках — 2 решения ( $\pm 6$ ).
$∣ x ∣ + 1 = 1$ , то есть $∣ x ∣ = 0$ : прямая касается вершины — 1 решение.

Число решений меняется на «особых» уровнях: вершины, изломы модуля, концы полуграфиков корня, асимптоты. Отмечайте их на чертеже — это и есть граничные значения $a$ .

Системы с параметром

Систему решают обычными способами (подстановкой, сложением), считая параметр числом. Для двух линейных уравнений:

Одно решение

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

Нет решений

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

Бесконечно много

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

${x + y = 9 x - y = 1$ : сложим — $2 x = 10$ , $x = 5$ , $y = 4$ .
${x + y = 6 x - y = 0$ : $x = y = 3$ .
${x + a y = 2 2 x + 4 y = 5$ не имеет решений при $\frac{1}{2} = \frac{a}{4} \neq = \frac{2}{5}$ , то есть при $a = 2$ .

Ответ задачи с параметром — все значения $a$ , включая граничные случаи. Проверяйте концы промежутков отдельно: строгое или нестрогое неравенство меняет ответ.

Простейшие случаи

$∣ x ∣ = a$ : два решения при $a > 0$ , одно при $a = 0$ , ни одного при $a < 0$ . Так же $x^{2} = a$ .
Прямая $y = c$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ при $c = \pm R$ . Уравнение $x^{2} + y^{2} = 0$ имеет единственное решение $(0; 0)$ .
Прямые $y = k x + b_{1}$ и $y = k x + b_{2}$ при $b_{1} \neq = b_{2}$ параллельны — система решений не имеет; при разных $k$ — одна точка пересечения.

Примеры заданий 19 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

При каком значении a уравнение x² − 3x + a = 0 имеет ровно один корень?

Показать ответ

Ответ: 2,25
Решение. Ответ: 2,25.

При каких a уравнение x² − 8x + a = 0 не имеет корней? В ответ запишите наименьшее целое такое a.

Показать ответ

Ответ: 17
Решение. Ответ: 17.

При каких a уравнение x² + 8x + a = 0 имеет два различных корня? В ответ запишите наибольшее целое такое a.

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Ответ: 15.

Найдите сумму корней уравнения x² + 8x − 9 = 0, если они существуют.

Показать ответ

Ответ: -8
Решение. Ответ: −8.

Найдите произведение корней уравнения x² + x − 7 = 0.

Показать ответ

Ответ: -7
Решение. Ответ: −7.

При каком a один из корней уравнения x² + 3x + a = 0 равен 0?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Ответ: 0.

Сколько решений имеет уравнение |x| = 6?

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Ответ: 2.

При каком a система x + y = 6, x − y = 0 имеет решение x = 3? В ответ запишите y.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Ответ: 3.