Задание 17. Моделирование с анализом

Простыми словами

Фирма решает, сколько товара выпускать, чтобы заработать больше всего, или какой тариф выгоднее. Математика превращает такой вопрос в функцию (прибыль, затраты) и ищет, где она наибольшая или наименьшая — а потом возвращает ответ «на язык жизни».

Три шага модели

1. Ввести переменную и сказать, что она означает (и в каких единицах).
2. Выписать функцию и область допустимых значений (число изделий — целое неотрицательное, цена — положительная).
3. Исследовать функцию и истолковать ответ по условию задачи.

Наибольшее и наименьшее в модели

Парабола. У $f(x)=a{x}^2+bx+c$ при $a<0$ наибольшее значение — в вершине:

Производная. Для других функций ищем $f^{\prime }(x)=0$ и проверяем смену знака:

Сумма и произведение

Произведение двух положительных чисел с постоянной суммой наибольшее, когда числа равны. При постоянном произведении сумма наименьшая при равных слагаемых.

Выбор из двух вариантов

Два тарифа, покупка против аренды, старый станок против нового — модель одна: выписать затраты каждого варианта как функцию от объёма и решить неравенство «первый дешевле второго».

Выручка, безубыточность, коробка

• Выручка $R=p\cdot q$. Если спрос $q=a-bp$, то $R(p)=ap-b{p}^2$ — парабола ветвями вниз, максимум при $p=\frac{a}{2b}$. Для $q=240-4p$: $p=30$.
• Точка безубыточности: доход равен затратам. Затраты $C=F+cx$ (постоянные $F$ и $c$ на изделие), цена $p$: $px\ge F+cx\Rightarrow x\ge \frac{F}{p-c}$, ответ округляют вверх.
• Коробка из квадратного листа со стороной $a$ (вырезают квадраты $x$): $V=x(a-2x{)}^2$, максимум при $x=\frac{a}{6}$.
• Средние издержки $C(x)=x+\frac{k}{x}$ при $x>0$ наименьшие при $x=\sqrt{k}$ и равны $2\sqrt{k}$.