Учебник reknow · 11 класс

ЕГЭ по математике (профиль): теория

21 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Математика по всем классам →

Задание 1 ЕГЭ (профиль). Планиметрия
Задание 2 ЕГЭ (профиль). Векторы
Задание 3 ЕГЭ (профиль). Стереометрия
Задание 4 ЕГЭ: классическая вероятность
Задание 5 ЕГЭ: вероятность сложных событий
Задание 6 ЕГЭ: случайная величина
Задание 7 ЕГЭ: простейшие уравнения
Задание 8 ЕГЭ: вычисления и преобразования
Задание 9 ЕГЭ: производная и график функции
Задание 10 ЕГЭ: прикладная задача
Задание 11 ЕГЭ: текстовая задача
Задание 12 ЕГЭ: графики функций
Задание 13 ЕГЭ: финансовая задача
Задание 14 ЕГЭ: уравнение с отбором корней
Задание 15 ЕГЭ: стереометрия с решением
Задание 16 ЕГЭ: неравенства
Задание 17 ЕГЭ: моделирование с анализом
Задание 18 ЕГЭ: планиметрия с решением
Задание 19 ЕГЭ: задача с параметром
Задание 20 ЕГЭ: числа и их свойства
Наибольшее и наименьшее значение функции

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 1 ЕГЭ (профиль). Планиметрия

Потренироваться: задания по теме →

Вписанный угол

Простыми словами

Задание 1 профильного ЕГЭ — короткая задача по геометрии на плоскости: найти сторону, угол или площадь. Решается в одно-два действия, если помнить нужную формулу. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; 1 балл, рассчитано примерно на 3 минуты.

Темы задания: прямоугольный треугольник, площади треугольника и четырёхугольников, углы фигур, окружность (вписанные и центральные углы), подобие.

Прямоугольный треугольник

c^{2} = a^{2} + b^{2}, S = \frac{ab}{2}

теорема Пифагора и площадь по катетам

где $a$ , $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза (против прямого угла).

$sin A = \frac{a}{c}$ (противолежащий катет к гипотенузе), $cos A = \frac{b}{c}$ (прилежащий к гипотенузе), $tg A = \frac{a}{b}$ (противолежащий к прилежащему). Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — это радиус описанной окружности.

Катеты 15 и 20 — гипотенуза: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 625 = 25$ .
Гипотенуза 29, катет 20 — второй катет: $2 9^{2} - 2 0^{2} = (29 - 20) (29 + 20) = 441 = 21$ .

Пифагоровы тройки: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ ; $20, 21, 29$ и кратные ( $15, 20, 25 = 5 \cdot (3, 4, 5)$ ).

Площади

Фигура	Формула
Треугольник	$S = \frac{1}{2} a h_{a}$ ; $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ; $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ (Герон)
Параллелограмм	$S = a h_{a}$ ; $S = ab sin α$
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

$a, b$ — стороны (у трапеции — основания), $h_{a}$ — высота к стороне $a$ , $C$ и $α$ — угол между сторонами, $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $d_{1}, d_{2}$ — диагонали.

Сторона 10, высота к ней 11: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 11 = 55$ .
$S = 45$ , сторона 15: $h = \frac{2 S}{a} = \frac{90}{15} = 6$ .
Параллелограмм, сторона 4, высота 10: $S = 40$ . Площадь 56, сторона 7: $h = 56 : 7 = 8$ .

В треугольнике $h = \frac{2 S}{a}$ — не забудьте двойку. В параллелограмме $h = \frac{S}{a}$ .

Углы и окружность

Сумма углов треугольника

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

Внешний уголравен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (или

18 0^{\circ}

минус смежный)

Вписанный уголравен половине центрального, опирающегося на ту же дугу

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB

: оба опираются на дугу

A B

(выделена)

Центральный угол $8 0^{\circ}$ — вписанный $4 0^{\circ}$ . Вписанный $5 5^{\circ}$ — центральный $11 0^{\circ}$ .
Углы треугольника $4 9^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ : третий $18 0^{\circ} - 9 4^{\circ} = 8 6^{\circ}$ .
$∠ A = ∠ B = 6 7^{\circ}$ : внешний угол при $C$ равен $6 7^{\circ} + 6 7^{\circ} = 13 4^{\circ}$ .

Ещё факты: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой; радиус в точку касания перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны; для пересекающихся хорд $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ ; теорема синусов $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ ( $R$ — радиус описанной окружности); для вписанной окружности $S = p \cdot r$ .

Подобие

У подобных фигур с коэффициентом $k$ стороны, периметры, высоты, медианы относятся как $k$ , а площади — как $k^{2}$ .

Сходственные стороны 18 и 72: $k = \frac{72}{18} = 4$ .
$k = 3$ , меньшая сторона 6: сходственная ей $6 \cdot 3 = 18$ .

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине (отсекает подобный треугольник с $k = \frac{1}{2}$ ); средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$ , а не как $k$ : при $k = 3$ площадь больше в 9 раз.

Ещё факты для задания 1

Факт	Формула или пример
сумма углов выпуклого $n$ -угольника	$18 0^{\circ} (n - 2)$ : у 12-угольника $180 0^{\circ}$
угол правильного $n$ -угольника; внешний угол	$\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ ; внешние углы в сумме $36 0^{\circ}$ , у правильного каждый $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$
вписанный четырёхугольник	сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$
параллелограмм, ромб	соседние углы в сумме $18 0^{\circ}$ ; $P = 2 (a + b)$
катет против угла $3 0^{\circ}$	равен половине гипотенузы
высота к гипотенузе	$h = \frac{ab}{c}$ (из $S = \frac{ab}{2} = \frac{c h}{2}$ )
медиана треугольника	делит его на две равновеликие части
хорда на расстоянии $d$ от центра	$\frac{хорда}{2} = R^{2} - d^{2}$
касательная из точки на расстоянии $d$ от центра	$d^{2} - R^{2}$
диагональ прямоугольника $a \times b$	$a^{2} + b^{2}$

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 2 ЕГЭ (профиль). Векторы

Потренироваться: задания по теме →

Сложение векторов

Простыми словами

Вектор — это «перемещение»: стрелка, у которой есть длина и направление. Вектор $(3; 2)$ означает «3 шага вправо и 2 вверх» — неважно, откуда начинать. Задание 2 — короткие вычисления с координатами векторов. 1 балл, около 3 минут.

Координаты и длина

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}), ∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

координаты вектора по началу и концу; длина вектора

где $A (x_{1}; y_{1})$ — начало, $B (x_{2}; y_{2})$ — конец; $a = (x; y)$ . Из координат конца вычитаем координаты начала. Длина — по теореме Пифагора, она не бывает отрицательной.

$A (- 4; 4)$ , $B (3; - 1)$ : $A B = (3 - (- 4); - 1 - 4) = (7; - 5)$ . Первая координата — $7$ .
$A (3; - 6)$ , $B (5; 2)$ : вторая координата $2 - (- 6) = 8$ .
Длина $a (6; 8)$ : $36 + 64 = 10$ .

Вычитание отрицательного числа: $3 - (- 4) = 7$ , а не $- 1$ . Ставьте скобки.

Действия с векторами

Правило треугольника: конец

a

— начало

b

. Координаты складываются по отдельности

Действие	Формула
Сумма	$a + b = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$
Разность	$a - b = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$
Умножение на число	$k a = (k x; k y)$
Коллинеарность	$a ∥ b ⟺ x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$

$a (1; 4) + b (3; 2) = (4; 6)$ — первая координата $4$ . $a (2; 4) + b (1; 7) = (3; 11)$ — вторая $11$ . $2 a - b$ для $a (2; 4)$ , $b (1; 7)$ : $(4 - 1; 8 - 7) = (3; 1)$ .

Скалярное произведение и угол

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

скалярное произведение

cos α = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}

косинус угла между векторами

$α$ — угол между векторами ( $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ ). Скалярное произведение — число, а не вектор: $> 0$ — угол острый, $= 0$ — векторы перпендикулярны, $< 0$ — угол тупой. $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ .

$a (0; - 2) \cdot b (3; 0) = 0 \cdot 3 + (- 2) \cdot 0 = 0$ — векторы перпендикулярны.
$a (5; 6) \cdot a = 25 + 36 = 61$ .
$a (1; 1)$ , $b (2; 2)$ : $b = 2 a$ — сонаправлены, угол $0^{\circ}$ . Проверка: $cos α = \frac{4}{2 \cdot 8} = \frac{4}{4} = 1$ .
$a (1; 0)$ , $b (1; 1)$ : $cos α = \frac{1}{1 \cdot 2} \approx 0, 707 \approx 0, 71$ (угол $4 5^{\circ}$ ).

Если $b = k a$ при $k < 0$ , векторы противоположно направлены: угол $18 0^{\circ}$ , а не $0^{\circ}$ .

Скалярное произведение — «перемножь по парам и сложи»: $x$ с $x$ , $y$ с $y$ .

Ещё о векторах

Середина отрезка $A B$ : $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ ; расстояние $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Противоположный вектор $- a = (- x; - y)$ ; угол между $a$ и $- a$ равен $18 0^{\circ}$ .
Правило параллелограмма: в параллелограмме $A BC D$ $A B + A D = A C$ .
$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ ; $a \cdot (k b) = k (a \cdot b)$ .

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 3 ЕГЭ (профиль). Стереометрия

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Задание 3 — короткая задача про объёмные тела: найти объём, площадь поверхности или понять, во сколько раз они изменятся. Почти всё решается одной формулой из таблицы — важно выбрать нужную и не забыть коэффициент вроде $\frac{1}{3}$ . 1 балл, около 3 минут.

Многогранники

Тело	Формулы
Прямоугольный параллелепипед	$V = ab c$ ; $S = 2 (ab + b c + a c)$ ; диагональ $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Куб	$V = a^{3}$ ; $S = 6 a^{2}$ ; $d = a 3$
Призма	$V = S_{осн} \cdot h$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

$a, b, c$ — рёбра; $h$ — высота; $S_{осн}$ — площадь основания; $d$ — диагональ.

Объём параллелепипеда 60, два его ребра 3 и 4. Найдите третье ребро и диагональ.

$c = \frac{60}{3 \cdot 4} = 5$ .
$d = 9 + 16 + 25 = 50 = 52$ ; $d^{2} = 50$ .

Тела вращения

Конус с тем же основанием и высотой занимает ровно

\frac{1}{3}

объёма цилиндра

Тело	Объём	Поверхность
Цилиндр	$V = π r^{2} h$	$S_{бок} = 2 π r h$ ; $S_{полн} = 2 π r (h + r)$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$S_{бок} = π r l$ , где $l = r^{2} + h^{2}$
Шар, сфера	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$	$S = 4 π R^{2}$

$r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая конуса, $R$ — радиус шара.

Радиус основания цилиндра 3, высота 5. Найдите объём, делённый на $π$ .

$V = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = 45 π$ .
$\frac{V}{π} = 45$ — число $π$ в ответ не пишут.

Как меняются объём и площадь

Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз, а объём — в $k^{3}$ раз. Это верно для любых подобных тел, а не только для куба.

Ребро куба увеличили в 3 раза: площадь поверхности — в $9$ раз, объём — в $27$ раз.
Радиус шара увеличили в 2 раза: объём вырос в $2^{3} = 8$ раз.
У цилиндра увеличили только радиус в 2 раза (высота та же): объём вырос в $2^{2} = 4$ раза — здесь меняется не всё тело.

Если у двух тел одинаковая высота и равные площади сечений на каждом уровне, их объёмы равны — это принцип Кавальери; на нём держатся все формулы вида « $S \cdot h$ ».

Формулы $k^{2}$ и $k^{3}$ работают, только когда увеличены все размеры. Если меняется одно измерение, считайте по формуле объёма.

«Треть» — у всех тел с вершиной (конус, пирамида). У тел с двумя одинаковыми основаниями (цилиндр, призма) — просто $S_{осн} \cdot h$ .

Ещё два факта

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер, по 4 каждого направления: сумма длин $4 (a + b + c)$ .
Если все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны $a$ , то высота: $h^{2} = a^{2} - (\frac{a 2}{2})^{2} = \frac{a ^{2}}{2}$ .
Объём наклонной призмы такой же, как у прямой с теми же основанием и высотой.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 4 ЕГЭ: классическая вероятность

Потренироваться: задания по теме →

Классическая вероятность: благоприятные из всех Сумма на двух кубиках

Простыми словами

В коробке 10 одинаковых на ощупь конфет, 3 из них — с вишней. Достаём одну не глядя. Шанс вытащить вишнёвую — «3 из 10», то есть $0, 3$ . Вероятность — это доля нужных вариантов среди всех возможных.

Умение посчитать все исходы и благоприятные исходы и разделить одно на другое. 1 балл, ответ — десятичная дробь от $0$ до $1$ .

Классическое определение

P (A) = \frac{m}{n}

вероятность события

A

Здесь $n$ — число всех равновозможных исходов опыта, $m$ — число исходов, благоприятных для события $A$ (при которых $A$ наступает).

$P = 0$ Невозможное событие: на кубике выпало 7.

$0 < P < 1$ Случайное событие: выпало 6.

$P = 1$ Достоверное событие: выпало число от 1 до 6.

Вероятность всегда лежит между $0$ и $1$ . Если получилось больше единицы — ошибка в подсчёте исходов (скорее всего, $m$ и $n$ перепутаны местами).

Как считать исходы

Главное — понять, что именно считается исходом. В задачах про жребий и очередь исход — «кто окажется на нужном месте».

Событие «выпало больше 4»:

P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0, 33

Выступают 4 спортсмена, из них 1 — из Китая. Порядок — по жребию. Найдите вероятность, что первым выступит спортсмен из Китая.

Исход — кто выступает первым. Это может быть любой из 4: $n = 4$ .
Благоприятный исход — первым идёт китаец: $m = 1$ .
$P = \frac{1}{4} = 0, 25$ .

В урне 4 шара, из них 3 белых. Найдите вероятность, что вынутый шар белый.

$n = 4$ , $m = 3$ .
$P = \frac{3}{4} = 0, 75$ .

Кость бросают один раз. Найдите вероятность, что выпадет чётное число очков.

Исходов $n = 6$ . Чётные: 2, 4, 6 — $m = 3$ .
$P = \frac{3}{6} = 0, 5$ .

Если из 30 спортсменов 8 из России, то для вопроса «первым выступит россиянин» $n = 30$ , $m = 8$ — номер выступления других участников не важен. Для «последним», «пятым» ответ тот же: $\frac{8}{30}$ .

Противоположное событие

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

\overset{ˉ}{A}

— «

A

не произошло»

Часто проще посчитать, что событие не произойдёт. Например, вероятность «хотя бы один» удобно искать через «ни одного».

Из 1000 насосов 5 подтекают. Вероятность, что случайный насос не подтекает: $1 - \frac{5}{1000} = 0, 995$ .

Монеты и таблицы исходов

При нескольких бросках выписывают все варианты. Две монеты дают 4 равновозможных исхода: ОО, ОР, РО, РР (ОР и РО — разные!).

Опыт	Число исходов $n$
монета $k$ раз	$2^{k}$
кубик $k$ раз	$6^{k}$
два кубика	$36$ (таблица $6 \times 6$ )

Монету бросают дважды. $P (ровно один орёл)$ : подходят ОР и РО, $m = 2$ , $n = 4$ , $P = 0, 5$ .

Ответ записывают десятичной дробью. Если деление не заканчивается ( $\frac{1}{3}$ ), в условии сказано, до какого разряда округлять: $\frac{1}{3} \approx 0, 33$ .

Посмотреть на модели

Интерактивные модели Лаборатории к этому номеру: опыт повторяется сотни раз, и видно, как частота приходит к вероятности.

Сумма на двух кубикахбросьте тысячу раз и сравните с теорией Доска Гальтонавысыпьте тысячу шариков и получите колокол Монета: частота и вероятностьбросьте монету тысячу раз и посмотрите, как частота орла приходит к одной второй Игральная кость: гистограмма частотбросьте кубик сто раз и сравните столбики с ровной линией 1/6 Классическая вероятность: благоприятные из всехсоберите набор шаров, отметьте нужные — и вытаскивайте наугад, пока частота не сойдётся с дробью Урна с шарами: с возвращением и безтяните шары по два — и увидите, почему второй шар «помнит» первый Треугольник Паскаля и число путейпустите шарик по решётке и посчитайте, сколькими путями он мог прийти в каждую ячейку Перестановки, размещения, сочетаниярасставьте цветные фишки всеми способами — счётчик покажет n! на глазах Геометрическая вероятность: точка в фигурекидайте точки в квадрат с кругом внутри — и вычислите π по доле попаданий

Ожидаемое число

Если вероятность события в одном опыте равна $p$ , то в $n$ опытах оно произойдёт в среднем $p \cdot n$ раз: при $p = 0, 32$ из 50 выстрелов ожидается $16$ попаданий. И обратно: число благоприятных исходов $m = P \cdot n$ .

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 5 ЕГЭ: вероятность сложных событий

Потренироваться: задания по теме →

Дерево вероятностей Независимые события и «хотя бы один» Условная вероятность: таблица 2×2

Простыми словами

Чтобы доехать до школы, нужно успеть на автобус и не застрять в пробке — шансы перемножаются и становятся меньше. Чтобы получить подарок, достаточно выиграть в одной лотерее или в другой — шансы складываются.

Умение разбить сложное событие на простые, связанные словами «и», «или», «не», и применить правила сложения и умножения. 1 балл, ответ — десятичная дробь.

Сложение и умножение

«И» — умножение

P (A \cdot B) = P (A) \cdot P (B)

— для независимых событий (одно не влияет на другое).

«ИЛИ» — сложение

P (A + B) = P (A) + P (B)

— для несовместных событий (не могут произойти вместе).

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

сложение в общем случае, если события могут произойти вместе

Здесь $A \cup B$ — «произошло $A$ или $B$ (хотя бы одно)», $A \cap B$ — «произошли оба».

Вероятность, что ученику попадётся вопрос по планиметрии, — $0, 2$ , по стереометрии — $0, 15$ . Вопросов на обе темы сразу нет. Найдите вероятность, что попадётся вопрос по одной из этих тем.

События несовместны — складываем.
$0, 2 + 0, 15 = 0, 35$ .

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ . Найдите вероятность, что первые 2 раза он попал, а третий — промахнулся.

Выстрелы независимы — перемножаем.
$0, 8 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 128$ .

Приём «хотя бы один»

P (хотя бы один) = 1 - P (ни одного)

самый частый приём задания 5

Если опыт повторяется $n$ раз и успех в каждом наступает с вероятностью $p$ независимо от других, то:

«ни одного успеха»: $(1 - p)^{n}$ ;
«успех все $n$ раз» (или « $k$ раз подряд в начале»): $p^{n}$ (соответственно $p^{k}$ ).

В зале два независимых автомата с кофе. Каждый к вечеру пустеет с вероятностью $0, 3$ . Найдите вероятность, что к вечеру кофе останется хотя бы в одном.

«Ни в одном» — оба пусты: $0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 09$ .
$1 - 0, 09 = 0, 91$ .

Дерево и формула полной вероятности

Когда событие может случиться «разными путями», рисуют дерево: подписывают вероятности на ветвях, перемножают вдоль ветви и складывают нужные ветви.

P (брак) = 0, 4 \cdot 0, 02 + 0, 6 \cdot 0, 01 = 0, 014

P (A) = P (H_{1}) \cdot P (A ∣ H_{1}) + P (H_{2}) \cdot P (A ∣ H_{2})

формула полной вероятности

$H_{1}, H_{2}$ — гипотезы (пути): они не пересекаются и покрывают все случаи, $P (H_{1}) + P (H_{2}) = 1$ . $P (A ∣ H_{1})$ — вероятность $A$ при условии, что верна $H_{1}$ .

Фабрика $A$ делает 40% стёкол, у неё 2% брака; фабрика $B$ — 60% стёкол и 1% брака. Найдите вероятность, что купленное стекло бракованное.

Ветвь « $A$ и брак»: $0, 4 \cdot 0, 02 = 0, 008$ .
Ветвь « $B$ и брак»: $0, 6 \cdot 0, 01 = 0, 006$ .
Складываем: $0, 014$ .

Частые ошибки

Складывать вероятности совместных событий без вычитания $P (A \cap B)$ : если сумма вышла больше $1$ , события точно пересекаются.

Перемножать вероятности зависимых событий как независимых. Пример: из 10 шаров (3 красных) берут 2 без возвращения — вероятность «оба красные» $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9}$ , а не $(\frac{3}{10})^{2}$ .

«И» — умножаем (шанс сужается), «ИЛИ» — складываем (шанс растёт), «НЕ» — вычитаем из единицы.

Посмотреть на модели

События и множества: круги Эйлерадвигайте круги событий A и B — и бросайте случайную точку, пока частота не сойдётся с формулой Дерево вероятностейпустите шарик по дереву — на каждой развилке он выбирает ветку с её вероятностью Условная вероятность: таблица 2×2выберите строку таблицы — и вытаскивайте людей только из неё Урна с шарами: с возвращением и безтяните шары по два — и увидите, почему второй шар «помнит» первый Независимые события и «хотя бы один»включите три ненадёжные лампы разом и посчитайте, как часто горит хотя бы одна Три двери: менять или не менятьсыграйте тысячу раз двумя стратегиями — и увидите, почему менять дверь выгодно Испытания Бернулли и биномиальное распределениебросьте десять монет разом сто раз — и посмотрите, какой горб получается Треугольник Паскаля и число путейпустите шарик по решётке и посчитайте, сколькими путями он мог прийти в каждую ячейку Парадокс дней рождениязапускайте людей в комнату по одному и ловите первое совпадение дней рождения

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 6 ЕГЭ: случайная величина

Потренироваться: задания по теме →

Случайная величина и математическое ожидание

Простыми словами

Покупаем лотерейный билет: выигрыш может быть 0, 100 или 1000 ₽ — заранее неизвестно, сколько. Такое число, зависящее от случая, называют случайной величиной. А «сколько в среднем выигрывает билет при тысячах покупок» — это её математическое ожидание.

Умение читать таблицу распределения, находить пропущенную вероятность, математическое ожидание и дисперсию. 1 балл, повышенный уровень.

Закон распределения

Случайная величина $X$ задаётся таблицей: в верхней строке — её значения $x_{i}$ , в нижней — их вероятности $p_{i}$ .

$x_{i}$	1	2	4	7
$p_{i}$	0,1	0,3	0,4	?

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

сумма всех вероятностей равна единице

$? = 1 - (0, 1 + 0, 3 + 0, 4) = 0, 2$ .
« $X$ не меньше 4» — это $X = 4$ или $X = 7$ : $P = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6$ .

Вероятность того, что $X$ примет одно из нескольких значений, — сумма их вероятностей.

Математическое ожидание

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

среднее значение величины при многих повторениях опыта

Каждое значение умножаем на его вероятность и всё складываем.

E (X) = 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 3 + 4 \cdot 0, 4 + 7 \cdot 0, 2 = 3, 7

Очки при броске кости: значения $1, \dots, 6$ , каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$ .

$E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5$ .

Ожидание не обязано быть одним из значений: у кубика оно $3, 5$ , хотя «три с половиной» не выпадает никогда.

Свойства:

$E (C) = C$ ожидание постоянной — она сама

$E (a X + b) = a E (X) + b$ растяжение и сдвиг

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ ожидание суммы

Дисперсия и отклонение

Дисперсия $D (X)$ показывает разброс значений вокруг ожидания: это среднее квадратов отклонений $x_{i} - E (X)$ . Считать удобнее так:

D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

где

E (X^{2}) = x_{1}^{2} p_{1} + \dots + x_{n}^{2} p_{n}

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение: $σ = D (X)$ . Дисперсия никогда не бывает отрицательной.

$X = 8$ с вероятностью $0, 8$ и $X = 3$ с вероятностью $0, 2$ . Найдите $D (X)$ .

$E (X) = 8 \cdot 0, 8 + 3 \cdot 0, 2 = 7$ .
$E (X^{2}) = 64 \cdot 0, 8 + 9 \cdot 0, 2 = 51, 2 + 1, 8 = 53$ .
$D (X) = 53 - 7^{2} = 4$ ; $σ = 2$ .

$D (X + b) = D (X)$ сдвиг разброса не меняет

$D (a X) = a^{2} D (X)$ множитель выходит в квадрате

Два самых частых промаха: написать $D (a X) = a D (X)$ вместо $a^{2} D (X)$ и забыть вычесть квадрат ожидания.

Схема Бернулли

Опыт повторяют $n$ раз независимо, в каждом успех — с вероятностью $p$ , неудача — с $q = 1 - p$ . Для числа успехов $X$ :

E (X) = n p, D (X) = n pq

таблицу строить не нужно

Монету бросают 100 раз, $X$ — число орлов: $E = 100 \cdot 0, 5 = 50$ , $D = 100 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 25$ . Для одного броска ( $n = 1$ ): $E = 0, 5$ , $D = 0, 25$ .

Посмотреть на модели

Дисперсия и стандартное отклонениетяните точки на прямой — квадраты отклонений растут прямо на экране Испытания Бернулли и биномиальное распределениебросьте десять монет разом сто раз — и посмотрите, какой горб получается Случайная величина и математическое ожиданиесыграйте в лотерею тысячу раз и сравните средний выигрыш с математическим ожиданием Закон больших чисел и выборочное среднееберите выборки по 5, по 30, по 100 — и смотрите, как сужается разброс средних Ящик с усами: квартили и выбросытяните значения выборки — ящик, усы и точки-выбросы перестраиваются сами Нормальное распределение: правило трёх сигмсыпьте измерения под колокол и проверьте правило 68–95–99,7

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 7 ЕГЭ: простейшие уравнения

Потренироваться: задания по теме →

Синус и косинус Логарифмы

Простыми словами

Каждое уравнение задания 7 — «замок» одного типа, и к каждому есть свой «ключ»: у степеней — одинаковые основания, у логарифма — определение логарифма, у корня — возведение в квадрат. Узнали тип — применили ключ — проверили ответ.

Решение простейших уравнений. 1 балл, ответ — одно число. Если корней несколько, в условии сказано, какой записать (например, наименьший положительный).

Показательные уравнения

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x) (a > 0, a \neq = 1)

одинаковые основания — приравниваем показатели

Обе части приводят к одному основанию $a$ . Пригодится: $a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a = a^{0, 5}$ .

$2^{x - 2} = 2^{1}$ $\Rightarrow$ $x - 2 = 1$ , $x = 3$ .
$5^{3 x} = 125$ : $125 = 5^{3}$ , значит $3 x = 3$ , $x = 1$ .
$(\frac{1}{3})^{x} = 9$ : $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ , $9 = 3^{2}$ $\Rightarrow$ $- x = 2$ , $x = - 2$ .

Логарифмические уравнения

lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}

по определению логарифма;

a > 0, a \neq = 1

$lo g_{10} (x + 5) = 1$ $\Rightarrow$ $x + 5 = 1 0^{1}$ , $x = 5$ .
$lo g_{3} (x - 5) = 1$ $\Rightarrow$ $x - 5 = 3$ , $x = 8$ .

Под логарифмом должно стоять положительное число. Корень, при котором выражение под логарифмом $\leq 0$ , — посторонний. Проверка: $x = 8$ даёт $lo g_{3} 3$ — подходит.

Иррациональные уравнения

f (x) = b ⟺ f (x) = b^{2} (b \geq 0)

при

b < 0

корней нет: корень не бывает отрицательным

$8 x + 76 = 14$ $\Rightarrow$ $8 x + 76 = 196$ , $8 x = 120$ , $x = 15$ .
$x + 2 = 6$ $\Rightarrow$ $x + 2 = 36$ , $x = 34$ .

Если справа стоит выражение с $x$ ( $x + 6 = x$ ), после возведения в квадрат могут появиться лишние корни. Проверка подстановкой обязательна: из корней $3$ и $- 2$ подходит только $3$ .

Тригонометрические уравнения

Уравнение	Решения ( $n \in Z$ )
$sin x = a$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$
$sin x = 0$	$x = πn$ ( $0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ )
$cos x = 1$	$x = 2 πn$ ( $0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ )

Для $sin x = a$ и $cos x = a$ решения есть только при $- 1 \leq a \leq 1$ .

cos x = \frac{1}{2}

x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Наименьший положительный корень $sin x = 0$ : серия $0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ — ответ $180$ . Для $cos x = 1$ : $0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ — ответ $360$ (ноль не положителен!).

Выпишите серию и подставьте $n = 0, \pm 1, \pm 2$ — нужный корень (наибольший отрицательный, наименьший положительный) сразу виден.

Рациональные уравнения

Линейное уравнение решают переносом слагаемых; дробь — умножением на знаменатель (знаменатель $\neq = 0$ ).

$6 x + 12 = 6$ $\Rightarrow$ $6 x = - 6$ , $x = - 1$ .
$\frac{x - 3}{7} = - 4$ $\Rightarrow$ $x - 3 = - 28$ , $x = - 25$ .
Квадратное: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , корни $2$ и $3$ ; если просят меньший — ответ $2$ .

Ещё три вида

Кубический корень определён для любого числа: $3 x + 7 = 6 \Rightarrow x + 7 = 216$ , $x = 209$ .
Модуль: $∣ x ∣ = a$ при $a > 0$ даёт $x = \pm a$ ; при $a < 0$ корней нет.
Дробь равна нулю, только когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Уравнение $\frac{9}{x - 8} = 0$ корней не имеет.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 8 ЕГЭ: вычисления и преобразования

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Выражение вида $3^{6} \cdot 3^{4} : 3^{8}$ можно посчитать «в лоб» — получится $729 \cdot 81 : 6561$ , долго и с риском ошибки. А можно применить правило и за секунду получить $3^{2} = 9$ . Задание 8 — про то, чтобы сначала упростить, потом считать.

Знание свойств степеней, корней, логарифмов и тригонометрических формул. 1 балл, ответ — число (часто целое).

Степени и корни

Правило	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$3^{6} \cdot 3^{4} = 3^{10}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$3^{10} : 3^{8} = 3^{2} = 9$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(5^{4})^{2} = 5^{8}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$2^{5} \cdot 5^{5} = 1 0^{5}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a^{0} = 1$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
$a^{\frac{1}{n}} = n a$ , $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$	$8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 4$
$ab = a \cdot b$	$2 \cdot 18 = 36 = 6$

$(5^{4})^{2} : 5^{7} = 5^{8} : 5^{7} = 5^{1} = 5$ .

$a^{m} + a^{n} \neq = a^{m + n}$ : складывать показатели можно только при умножении. $2^{3} + 2^{3} = 16$ , а не $2^{6}$ .

Логарифмы

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ): логарифм — это показатель, в который нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

Свойство	Название
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	произведение
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	частное
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$	степень
$a^{l o g_{a} b} = b$	основное тождество
$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$	переход к новому основанию

$lo g_{10} 1000 = 3$ , так как $1 0^{3} = 1000$ .
$lo g_{5} 125 + lo g_{5} 5 = 3 + 1 = 4$ (или $lo g_{5} 625 = 4$ ).
$7^{l o g_{7} 9} = 9$ .

Тригонометрия

sin^{2} α + cos^{2} α = 1, tg α = \frac{sin α}{cos α}

основное тождество и тангенс

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий

$sin α = 0, 8$ . Найдите $cos^{2} α$ .

$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - 0, 64 = 0, 36$ .

Двойной угол: $sin 2 α = 2 sin α cos α$ ; $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1$ .

Формулы приведения проверяют по четверти: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ; синусы смежных углов равны, косинусы противоположны.

Знак в формуле приведения — знак исходной функции в той четверти, где лежит угол; при $9 0^{\circ}$ и $27 0^{\circ}$ функция меняется на «кофункцию» ( $sin \leftrightarrow cos$ ), при $18 0^{\circ}$ и $36 0^{\circ}$ — нет.

Дробно-рациональные выражения

Сначала раскладываем на множители и сокращаем, потом подставляем числа: так короче и без деления на ноль.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов — главный инструмент

$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a - b} = a + b$ ; при $a = 10$ , $b = 3$ : $13$ .
$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b} = a - b$ ; при $a = 11$ , $b = 5$ : $6$ .

Ещё пригодятся: $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

Ещё два правила

Взаимно обратные логарифмы: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ , то есть $lo g_{b} a = \frac{1}{l o g _{a} b}$ . Пример: $lo g_{5} 125 \cdot lo g_{125} 5 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ .
Сокращать дробь можно только на общий множитель, а не на слагаемое: $\frac{a + b}{a} \neq = b$ . Сначала разложите числитель и знаменатель на множители.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 9 ЕГЭ: производная и график функции

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Представим, что график — это дорога в горах, а мы едем слева направо. Производная — крутизна подъёма в данной точке: на подъёме она положительна, на спуске отрицательна, на вершине и в низине — ноль.

Умение «читать» график функции или её производной, связывать производную с касательной и находить площадь через первообразную. 1 балл.

Знак производной и экстремумы

$f^{'} (x) > 0$ функция возрастает

$f^{'} (x) < 0$ функция убывает

$f^{'} (x) = 0$ возможен экстремум (горизонтальная касательная)

f (x) = x^{3} - 3 x

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

меняет знак в точках

x = \pm 1

Точка максимума — где $f^{'}$ меняет знак с « $+$ » на « $-$ »; точка минимума — с « $-$ » на « $+$ ». Нет смены знака — нет экстремума.

$f^{'} (x) > 0$ на $(- 1; 2)$ и $f^{'} (x) < 0$ вне его. Найдите точку максимума.

Знаки: $-$ до $- 1$ , $+$ на $(- 1; 2)$ , $-$ после $2$ .
Смена « $+$ » на « $-$ » в точке $x = 2$ — это максимум. (В $x = - 1$ — минимум.)

По графику производной экстремумы функции — это точки, где график $f^{'}$ пересекает ось $O x$ , а не вершины графика $f^{'}$ . Не путайте, какой график дан!

Касательная

f^{'} (x_{0}) = k = tg α

производная в точке касания = угловой коэффициент касательной

$x_{0}$ — абсцисса точки касания, $k$ — угловой коэффициент касательной $y = k x + b$ , $α$ — угол между касательной и положительным направлением оси $O x$ .

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

уравнение касательной

Касательная $y = - 2 x - 4$ : $f^{'} (x_{0}) = k = - 2$ .
Касательная параллельна $y = - x - 3$ : у параллельных прямых равные $k$ , значит $f^{'} (x_{0}) = - 1$ .
Касательная проходит через клетки $(1; 1)$ и $(5; 3)$ : $k = \frac{3 - 1}{5 - 1} = 0, 5$ .

Касательная идёт вверх слева направо — производная положительна; вниз — отрицательна. Проверяйте знак ответа по рисунку.

Производные, которые нужно знать

$(C)^{'} = 0$	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$	$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(sin x)^{'} = cos x$	$(cos x)^{'} = - sin x$
$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$	$(C u)^{'} = C u^{'}$

Первообразная и площадь

Первообразная $F$ для $f$ — функция, у которой $F^{'} (x) = f (x)$ . Например, для $f = x$ первообразная $F = \frac{x ^{2}}{2}$ .

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

площадь под графиком

f (x) \geq 0

на отрезке

[a; b]

$y = 4$ на $[2; 3]$ : прямоугольник $1 \times 4$ , $S = 4$ .
$y = x$ , ось $O x$ и $x = 3$ : $S = F (3) - F (0) = \frac{9}{2} - 0 = 4, 5$ (или треугольник $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3$ ).

Если дан график первообразной $F$ , то $f (x) > 0$ там, где $F$ возрастает, а число нулей $f$ — это число вершин и впадин графика $F$ .

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 10 ЕГЭ: прикладная задача

Потренироваться: задания по теме →

Сложный процент

Простыми словами

Инженер даёт формулу и говорит: «Вот закон, вот числа — найди недостающее». Физику знать не нужно: всё необходимое уже в условии. Задача — аккуратно подставить числа и решить получившееся уравнение.

Умение работать с формулой: подставить значения, выразить неизвестную величину, решить линейное, квадратное или показательное уравнение (иногда неравенство). 1 балл.

Алгоритм

Выписать формулу и все данные с единицами измерения.
Подставить всё известное.
Выразить неизвестное и решить уравнение.
Проверить единицы и здравый смысл (время не отрицательно, масса положительна).

Если спрашивают «наибольшее» или «наименьшее» значение, при котором выполняется условие, решают неравенство; ответ — обычно граница найденного промежутка.

Линейные зависимости

Скорость при равноускоренном движении: $v = v_{0} + a t$ , где $v_{0}$ — начальная скорость (м/с), $a$ — ускорение (м/с²), $t$ — время (с).

$v = 15 + 3 t$ , $t = 9$ : $v = 15 + 27 = 42$ м/с.
$v = 24 + 6 t$ , $v = 42$ : $24 + 6 t = 42$ , $6 t = 18$ , $t = 3$ с.

Квадратичные формулы

Высота тела, брошенного вверх: $h = v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}$ , где $g \approx 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При $g = 10$ получается $h = v_{0} t - 5 t^{2}$ .

h = 20 t - 5 t^{2}

: тело поднимается на 20 м и возвращается на землю через 4 с

$h = 40 t - 5 t^{2}$ , $t = 1$ : $h = 40 - 5 = 35$ м.
$h = 20 t - 5 t^{2}$ , когда тело вернётся на землю? $h = 0$ : $5 t (4 - t) = 0$ , $t = 0$ (старт) или $t = 4$ . Ответ: $4$ с.

У квадратного уравнения часто два корня. Выбирайте тот, что подходит по смыслу: $t = 0$ — момент броска, а не ответ.

Проценты и рост

A = A_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

сложные проценты:

A_{0}

— начальная сумма,

p

— процент за период,

n

— число периодов

Цена $100000$ ₽ выросла на 10%: $100000 \cdot 1, 1 = 110000$ .
Вклад $200000$ ₽, 25% в год, 3 года: $200000 \cdot 1, 2 5^{3} = 200000 \cdot 1, 953125 = 390625$ .

Подробнее: другие частые формулы

Закон Ома	$I = \frac{U}{R}$ ( $I$ — сила тока, А; $U$ — напряжение, В; $R$ — сопротивление, Ом)
Кинетическая энергия	$E = \frac{m v ^{2}}{2}$ ( $m$ — масса, кг; $v$ — скорость, м/с; $E$ — Дж)
Нагрев	$T = T_{0} + k t$ ( $T_{0}$ — начальная температура, $k$ — скорость нагрева)
Путь	$s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$

Ещё формулы и проценты

Мощность $P = F \cdot v$ ( $F$ — сила, Н; $v$ — скорость, м/с); давление $p = \frac{F}{S}$ ( $S$ — площадь, м²); путь из покоя $s = \frac{a t ^{2}}{2}$ .
Наибольшая высота тела $h = v_{0} t - 5 t^{2}$ — в вершине параболы: $t_{0} = \frac{v _{0}}{10}$ . Для $h = 40 t - 5 t^{2}$ : $t_{0} = 4$ , $h = 160 - 80 = 80$ м.
$p %$ от числа $A$ : $A \cdot \frac{p}{100}$ ; число по его части: если $p %$ числа равны $B$ , то число равно $\frac{B \cdot 100}{p}$ ; сколько процентов $B$ составляет от $A$ : $\frac{B}{A} \cdot 100%$ .
На сколько процентов изменилась величина: $\frac{A _{нов} - A}{A} \cdot 100%$ . Простые проценты начисляются только на начальную сумму, сложные — и на прирост.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 11 ЕГЭ: текстовая задача

Потренироваться: задания по теме →

Задачи на движение

Простыми словами

Почти все текстовые задачи устроены одинаково: одна величина = другая × третья. Путь = скорость × время, работа = производительность × время, масса вещества = масса раствора × доля. Узнаём модель — заполняем таблицу — составляем уравнение.

Умение перевести условие на язык уравнения и решить его. 1 балл, ответ — число (единицы измерения в ответ не пишут).

Движение

s = v \cdot t

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч)

Навстречускорость сближения

v_{1} + v_{2}

Вдогонкускорость сближения

v_{1} - v_{2}

По течению

v + u

, где

u

— скорость течения

Против течения

v - u

Время до встречи:

t = \frac{300}{60 + 40} = 3

Ехал 3 ч со скоростью 70 км/ч: $s = 70 \cdot 3 = 210$ км.
80 км за 2 ч: $v = \frac{80}{2} = 40$ км/ч.

Лодка прошла 24 км по течению и вернулась, потратив на весь путь 5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть $v$ — скорость лодки. Время: $\frac{24}{v + 2} + \frac{24}{v - 2} = 5$ .
$24 (v - 2) + 24 (v + 2) = 5 (v^{2} - 4)$ , то есть $5 v^{2} - 48 v - 20 = 0$ .
$D = 4 8^{2} + 400 = 2704 = 5 2^{2}$ , $v = \frac{48 + 52}{10} = 10$ (второй корень отрицательный). Ответ: $10$ .

Работа и производительность

A = p \cdot t

A

— работа,

p

— производительность (работа за единицу времени),

t

— время

При совместной работе производительности складываются. Если вся работа неизвестна, её принимают за $1$ .

15 деталей в час, 5 ч: $A = 15 \cdot 5 = 75$ .
120 деталей за 8 ч: $p = \frac{120}{8} = 15$ деталей в час.
Одна труба наполняет бак за 6 ч, другая — за 3 ч. Вместе: $p = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ , время $t = \frac{1}{1/2} = 2$ ч.

Если один делает работу за $a$ ч, другой — за $b$ ч, то вместе они справятся за $\frac{ab}{a + b}$ ч.

Смеси, сплавы, растворы

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{p}{100}

p

— концентрация в процентах

Считают не проценты, а массу чистого вещества: при смешивании она складывается, при доливании воды не меняется.

500 г раствора, 25% соли: $500 \cdot 0, 25 = 125$ г.
50 г соли в 200 г раствора: $\frac{50}{200} \cdot 100% = 25%$ .
Смешали 4 л 15%-го и 6 л 25%-го раствора: вещества $0, 6 + 1, 5 = 2, 1$ л из $10$ л, концентрация $21%$ .

Концентрации нельзя просто складывать или усреднять: $15%$ и $25%$ дают $20%$ только при равных массах растворов.

Как составить уравнение

	$v$ (или $p$ )	$t$	$s$ (или $A$ )
1-й участник	$x$	$\frac{s}{x}$	$s$
2-й участник	$x + 10$	$\frac{s}{x + 10}$	$s$

Обозначьте неизвестное буквой, заполните таблицу и составьте уравнение по той величине, которую в условии сравнивают («на 2 часа быстрее», «на 3 детали больше»).

Протяжённый объект

Поезд длиной $L$ проезжает мимо столба за время $t$ : он проходит путь, равный своей длине, $v = \frac{L}{t}$ . Мимо платформы длиной $l$ — путь $L + l$ . Собственная скорость лодки — скорость по течению минус скорость течения.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 12 ЕГЭ: графики функций

Потренироваться: задания по теме →

Обратная пропорциональность Линейная функция Квадратичная функция

Простыми словами

Каждая буква в формуле функции «отвечает» за что-то видимое на графике: где он пересекает ось, куда смотрят ветви, насколько круто поднимается. Зная это, формулу можно прочитать по картинке, как адрес на конверте.

На рисунке — график функции известного вида; нужно найти её коэффициенты и затем значение функции или точку пересечения графиков. 1 балл.

Прямая $y = k x + b$

$b$ ордината точки пересечения с осью

O y

(значение при

x = 0

)

$k$ угловой коэффициент: на сколько меняется

y

при сдвиге на

1

вправо

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

угловой коэффициент по двум точкам

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

Точки $(- 2; - 10)$ и $(2; 6)$ : $k = \frac{6 - ( - 10 )}{2 - ( - 2 )} = \frac{16}{4} = 4$ .
$y = 2 x - 2$ пересекает $O y$ при $x = 0$ : $y = - 2$ .

$k > 0$ — прямая идёт вверх, $k < 0$ — вниз, $k = 0$ — горизонтальная. Параллельные прямые имеют равные $k$ .

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$

y = - (x + 1) (x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3

Что видно	Что это даёт
ветви вверх / вниз	$a > 0$ / $a < 0$
пересечение с $O y$	$c$
вершина	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
корни $x_{1}, x_{2}$	$y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , $x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$
вершина $(x_{0}; y_{0})$	$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

Корни $- 1$ и $3$ , $a = - 1$ : $y = - (x + 1) (x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3$ , значит $c = 3$ .
Корни $- 1$ и $2$ : вершина посередине, $x_{0} = \frac{- 1 + 2}{2} = 0, 5$ .

Гипербола и другие графики

$y = \frac{k}{x}$ гипербола; при

k > 0

ветви в I и III четвертях, при

k < 0

— во II и IV.

k = x \cdot y

для любой точки графика.

$y = x - a$ «половина параболы», начинается в точке

(a; 0)

и растёт вправо

$y = a^{x}$ проходит через

(0; 1)

; растёт при

a > 1

$y = lo g_{a} x$ проходит через

(1; 0)

; определена при

x > 0

$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(3; - 2)$ : $k = 3 \cdot (- 2) = - 6$ .
$y = \frac{8}{x}$ при $x = 4$ : $y = 2$ .

Главный приём

Подставьте в формулу координаты двух-трёх отмеченных на графике точек (у них целые координаты — их отмечают именно для этого) и решите получившуюся систему.

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; 1)$ , $(1; 2)$ , $(- 1; 4)$ .

$x = 0$ : $c = 1$ .
$a + b + 1 = 2$ и $a - b + 1 = 4$ , откуда $a = 2$ , $b = - 1$ .
$y = 2 x^{2} - x + 1$ .

Проверяйте ответ по ещё одной точке графика: если она не подошла, скорее всего, ошибка в знаке коэффициента.

Модуль и монотонность гиперболы

$y = ∣ x - a ∣ + b$ — «галочка» с вершиной в точке $(a; b)$ ; $y = ∣ x ∣ + 5$ пересекает $O y$ в точке $(0; 5)$ .
$y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ убывает на каждом из промежутков $(- \infty; 0)$ и $(0; + \infty)$ , при $k < 0$ — возрастает на каждом из них. Ось $O y$ гипербола не пересекает: при $x = 0$ функция не определена.

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 13 ЕГЭ: финансовая задача

Потренироваться: задания по теме →

Сложный процент

Простыми словами

Банк начисляет проценты не «по одному разу», а на уже наросшую сумму: в следующем году проценты набегают и на прошлые проценты. Поэтому денежные задачи решают умножением на коэффициент, а не сложением процентов.

Расчёт вклада, кредита или цены после нескольких изменений в процентах. Ответ краткий — число, обычно в рублях. 1 балл.

Процент — это множитель

k = 1 + \frac{p}{100}

увеличение на

p %

— умножение на

k

; уменьшение — умножение на

1 - \frac{p}{100}

За $n$ одинаковых периодов коэффициент возводится в степень: $S_{n} = S \cdot k^{n}$ .

5000 ₽, скидка 25%, потом ещё 5%: $5000 \cdot 0, 75 \cdot 0, 95 = 3562, 5$ ₽.
8000 ₽, $+ 20%$ , затем $- 20%$ : $8000 \cdot 1, 2 \cdot 0, 8 = 8000 \cdot 0, 96 = 7680$ ₽.

Проценты от разных баз складывать нельзя: рост на 20% и падение на 20% дают не исходную цену, а $0, 96$ от неё.

Вклад

Сложные проценты (капитализация)

S_{n} = S \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

— проценты начисляются на текущую сумму

Простые проценты

S_{n} = S \cdot (1 + \frac{n p}{100})

— каждый раз от первоначальной суммы

$S$ — вложенная сумма, $p$ — годовая ставка в процентах, $n$ — число лет.

$1000000$ ₽ под 20% с капитализацией, 2 года: $1000000 \cdot 1, 2^{2} = 1440000$ ₽.
$500000$ ₽ под 25%: доход за первый год $500000 \cdot 0, 25 = 125000$ ₽.

Доход — это разность итоговой и вложенной суммы, а не сама итоговая сумма. «Какая сумма на счёте» и «каков доход» — разные вопросы.

Кредит: дифференцированные платежи

Долг гасится равными частями, проценты начисляются на остаток, поэтому платёж с каждым годом уменьшается.

Кредит

600

тыс. ₽ под 25% на 2 года: переплата

150 + 75 = 225

тыс. ₽

Кредит $1500000$ ₽ под 10% на 3 года, долг гасится равными частями. Найдите первый платёж.

Часть долга: $1500000 : 3 = 500000$ .
Проценты за 1-й год: $1500000 \cdot 0, 1 = 150000$ .
Первый платёж: $650000$ ₽.

Проценты по годам образуют арифметическую прогрессию: переплата $= \frac{p}{100} \cdot \frac{S}{n} \cdot (n + (n - 1) + \dots + 1) = \frac{p}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ . Проверка: $0, 25 \cdot 600 \cdot \frac{3}{2} = 225$ тыс.

Кредит: аннуитетные платежи

Платёж $X$ одинаковый каждый год. Каждый год долг умножается на $k$ , затем уменьшается на $X$ ; после $n$ платежей он равен нулю:

S \cdot k^{n} = X \cdot (k^{n - 1} + k^{n - 2} + \dots + k + 1)

S

— кредит,

k = 1 + \frac{p}{100}

X

— ежегодный платёж

Кредит на 2 года под 10%, платёж $X = 1210000$ ₽. Найдите сумму кредита.

$S \cdot 1, 21 = X \cdot (1, 1 + 1) = 2, 1 X$ .
$S = \frac{2 , 1 \cdot 1 210 000}{1 , 21} = 2100000$ ₽. Всего выплачено $2 X = 2420000$ ₽.

Округляйте только в самом конце: округлённый в середине коэффициент сдвигает ответ на сотни рублей. Здравый смысл: при разумной ставке переплата меньше кредита, а вклад не уменьшается.

НДС, наценка, инфляция

Цена с НДС (наценкой) $p %$ : умножить на $1 + \frac{p}{100}$ . Цена без НДС 1200 ₽, НДС 25%: $1200 \cdot 1, 25 = 1500$ ₽. Закупка 1200 ₽, наценка 10%: $1320$ ₽.
Цену до скидки находят делением: цена после скидки 10% равна 10 800 ₽ — до скидки $10800 : 0, 9 = 12000$ ₽.
Инфляция $p %$ в год за $n$ лет: цены растут в $(1 + \frac{p}{100})^{n}$ раз, во столько же раз обесцениваются деньги ( $1, 2 5^{3} \approx 1, 95$ ).
Две скидки подряд по 20% выгоднее одной в 20%: итог $0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$ цены, то есть всего $- 36%$ , а не $- 40%$ .

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 14 ЕГЭ: уравнение с отбором корней

Потренироваться: задания по теме →

Синус и косинус

Простыми словами

У тригонометрического уравнения корней бесконечно много — они повторяются через период, как деления на рулетке. Пункт а) — найти все эти «деления» одной формулой, пункт б) — отрезать кусок рулетки и сосчитать, какие деления на нём лежат.

Задание из двух пунктов: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. 2 балла: оба пункта решены обоснованно — 2; верно решён только пункт а) — 1.

Простейшие уравнения

Уравнение	Решения ( $n \in Z$ )	В градусах
$sin x = a$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$	$sin x = \frac{1}{2}$ : $3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn$	$cos x = \frac{1}{2}$ : $\pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$	$tg x = 1$ : $4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
$sin x = 0$	$x = πn$	$18 0^{\circ} n$
$cos x = 0$	$x = \frac{π}{2} + πn$	$9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$

Серию $(- 1)^{n} arcsin a + πn$ удобнее записать двумя сериями с шагом $2 π$ : $x = arcsin a + 2 πn$ и $x = π - arcsin a + 2 πn$ — с ними проще отбирать корни.

Как отбирать корни

Способ 1 — двойное неравенство. Подставляем серию в условие $a \leq x \leq b$ и находим целые $n$ .

$cos x = \frac{1}{2}$ . Найдите наибольший корень на $[36 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]$ .

Серия $6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $360 \leq 60 + 360 n \leq 900$ , $n \in {1; 2}$ — корни $42 0^{\circ}, 78 0^{\circ}$ .
Серия $- 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $360 \leq - 60 + 360 n \leq 900$ , $n = 2$ — корень $66 0^{\circ}$ .
Наибольший: $78 0^{\circ}$ .

Корни

cos x = \frac{1}{2}

на отрезке

[36 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]

Способ 2 — единичная окружность. Отмечаем дугу отрезка и точки серий на ней; хорошо подходит для проверки.

$sin x = 0$ на $[36 0^{\circ}; 108 0^{\circ}]$ : $36 0^{\circ}, 54 0^{\circ}, 72 0^{\circ}, 90 0^{\circ}, 108 0^{\circ}$ — 5 корней (концы входят!).
$cos x = 0$ на $[18 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]$ : $27 0^{\circ}, 45 0^{\circ}, 63 0^{\circ}, 81 0^{\circ}$ , сумма $216 0^{\circ}$ .

Уравнения с заменой

Замена $t = sin x$ (или $t = cos x$ ) превращает уравнение в квадратное. После решения проверяем $∣ t ∣ \leq 1$ : корень $t = 2$ — посторонний.

а) $2 cos^{2} x - cos x = 0$ ; б) наименьший корень на $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ .

$cos x (2 cos x - 1) = 0$ : $cos x = 0$ или $cos x = \frac{1}{2}$ .
а) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ ; $x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ .
б) На $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ : $6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$ . Наименьший — $6 0^{\circ}$ .

$2 sin^{2} x - sin x = 0$ : $sin x = 0$ или $sin x = \frac{1}{2}$ . На $[36 0^{\circ}; 72 0^{\circ}]$ наименьший корень — $36 0^{\circ}$ (из серии $sin x = 0$ ).

Не делите обе части на $sin x$ или $cos x$ — потеряете корни, где они равны нулю. Выносите за скобки.

Проверяйте область определения: в уравнениях с тангенсом и дробями часть корней выпадает ( $tg x$ не существует при $cos x = 0$ ).

Ещё виды для пункта а)

$sin^{2} x = 1 ⟺ sin x = \pm 1 ⟺ x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ ; $cos^{2} x = 1 ⟺ x = 18 0^{\circ} n$ ; $tg^{2} x = 1 ⟺ x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ .
Двойной аргумент: $cos 2 x = 1 \Rightarrow 2 x = 36 0^{\circ} n$ , $x = 18 0^{\circ} n$ ; $cos 2 x = - 1 \Rightarrow 2 x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ . Сначала решают относительно $2 x$ , потом делят серию на 2.
Квадратное относительно $sin x$ : $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0 \Rightarrow sin x = \frac{1}{2}$ или $sin x = - 1$ .

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 15 ЕГЭ: стереометрия с решением

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Почти любая задача в пространстве сводится к плоскому прямоугольному треугольнику, «спрятанному» внутри фигуры. Нужно его увидеть, вытащить на отдельный рисунок и применить теорему Пифагора или тригонометрию.

Два пункта: а) доказать утверждение (прямые перпендикулярны, сечение — определённая фигура), б) вычислить угол, расстояние, площадь или объём. 3 балла; доказательство пункта а) стоит 1 балл и часто укладывается в пару строк со ссылкой на теорему.

Куб и прямоугольный параллелепипед

Диагональ грани

a 2

, диагональ куба

a 3

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

a, b, c

; у куба

d = a 3

Куб с ребром $5$ : квадрат диагонали $d^{2} = 3 \cdot 25 = 75$ .
Квадрат диагонали грани: $5^{2} + 5^{2} = 50$ .

Призма и пирамида

Фигура	Объём	Боковая поверхность
прямая призма	$V = S_{осн} \cdot h$	$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$	правильная: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

$S_{осн}$ — площадь основания, $P_{осн}$ — его периметр, $h$ — высота, $l$ — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды).

Правильная четырёхугольная призма, сторона $8$ , высота $4$ : $V = 64 \cdot 4 = 256$ ; $S_{бок} = 32 \cdot 4 = 128$ .
Правильная четырёхугольная пирамида, сторона $10$ , высота $12$ : $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$ .
Сторона $8$ , высота $12$ . Апофема — гипотенуза треугольника с катетами $h = 12$ и половиной стороны $4$ : $l = 144 + 16 = 160 \approx 12, 65$ .

В пирамиде не путайте высоту $h$ , апофему $l$ и боковое ребро: это три разных отрезка, и у каждого свой прямоугольный треугольник.

Опорные теоремы для пункта а)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда этой прямой перпендикулярна проекция наклонной.

Угол прямой и плоскостиугол между прямой и её проекцией на плоскость

Угол между плоскостямиугол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в каждой плоскости

Расстояние от точки до плоскостидлина перпендикуляра

Координатный метод

В кубе и прямоугольном параллелепипеде удобно ввести систему координат с началом в вершине.

cos φ = \frac{∣ x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} + z _{1} z _{2} ∣}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} + z _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} + z _{2}^{2}}

угол между прямыми с направляющими векторами

(x_{1}; y_{1}; z_{1})

(x_{2}; y_{2}; z_{2})

ρ = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

расстояние от точки

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

до плоскости

A x + B y + C z + D = 0

Чертёж обязателен: без него проверяющий не поймёт, какие точки обозначены буквами, и снимет балл за неполное обоснование.

Ещё отрезки в кубе и пирамиде

Диагональное сечение куба с ребром $a$ — прямоугольник $a \times a 2$ , площадь $a^{2} 2$ . Расстояние от центра куба до грани — $\frac{a}{2}$ .
Боковое ребро $b$ правильной четырёхугольной пирамиды: $b^{2} = h^{2} + (\frac{d}{2})^{2}$ , где $\frac{d}{2} = \frac{a 2}{2}$ — половина диагонали основания.

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 16 ЕГЭ: неравенства

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Решить неравенство — найти не одно число, а целый промежуток подходящих чисел. Главное — не «перевернуть» знак по ошибке и не забыть, где выражение вообще имеет смысл (под логарифмом — только положительное, в знаменателе — не ноль).

Решение показательного, логарифмического или дробно-рационального неравенства с полным обоснованием. 2 балла; 1 балл — если ответ отличается от верного только из-за исключения или включения граничных точек, или если при верной последовательности шагов допущена вычислительная ошибка.

Показательные неравенства

$a > 1$

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)

— знак сохраняется

$0 < a < 1$

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) < g (x)

— знак меняется

$3^{2 x + 6} > 3^{1}$ ; основание $3 > 1$ : $2 x + 6 > 1$ , $x > - 2, 5$ . Наименьшее целое решение: $- 2$ .
$5^{3 x + 4} < 5^{3}$ : $3 x + 4 < 3$ , $x < - \frac{1}{3}$ . На $[- 5; 3]$ целые решения $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1$ — их $5$ .
$(\frac{1}{2})^{x} > 4 = (\frac{1}{2})^{- 2}$ : основание меньше 1, знак меняется: $x < - 2$ .

Основание $0 < a < 1$ — место, где теряют баллы чаще всего. Перед «снятием» степени всегда смотрите на основание.

Логарифмические неравенства

Записать область определения: всё под логарифмом строго больше нуля.
Представить правую часть как логарифм с тем же основанием: $2 = lo g_{2} 4$ .
Убрать логарифмы по тому же правилу знака, что и у степеней.
Ответ — пересечение с областью определения.

$lo g_{2} (x + 9) > 2$ : ОДЗ $x > - 9$ ; $x + 9 > 4$ , $x > - 5$ . Ответ $x > - 5$ , наименьшее целое $- 4$ .
$lo g_{10} (x + 9) < 1$ : $0 < x + 9 < 10$ , то есть $- 9 < x < 1$ . Число $0$ входит.

Без ОДЗ во втором примере получилось бы $x < 1$ — и ответ включал бы $x = - 20$ , где логарифм не существует.

Метод интервалов

Перенести всё в одну часть, справа $0$ ; разложить на множители, дробь привести к общему знаменателю.
Отметить на прямой нули числителя и знаменателя.
Определить знак на каждом промежутке (подставить удобное число) — знаки чередуются, если множитель в первой степени.
Выбрать промежутки с нужным знаком.

(x + 4) (x + 2) < 0

при

- 4 < x < - 2

; наименьшее целое решение

- 3

$(x - 1) (x - 7) > 0$ : нули $1$ и $7$ ; знаки $+, -, +$ . Ответ: $x < 1$ или $x > 7$ . Наименьшее целое решение, большее $7$ , — $8$ .

Точки, где знаменатель равен нулю, всегда выколоты, даже если неравенство нестрогое. Умножать обе части на выражение неизвестного знака нельзя — так теряют и приобретают лишние решения.

При чётной степени множителя ( $(x - 3)^{2}$ ) знак при переходе через его нуль не меняется.

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 17 ЕГЭ: моделирование с анализом

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Фирма решает, сколько товара выпускать, чтобы заработать больше всего, или какой тариф выгоднее. Математика превращает такой вопрос в функцию (прибыль, затраты) и ищет, где она наибольшая или наименьшая — а потом возвращает ответ «на язык жизни».

Умение составить модель по условию, исследовать её и обосновать ответ. 2 балла. Баллы снимают не столько за арифметику, сколько за отсутствие обоснования.

Три шага модели

Ввести переменную и сказать, что она означает (и в каких единицах).
Выписать функцию и область допустимых значений (число изделий — целое неотрицательное, цена — положительная).
Исследовать функцию и истолковать ответ по условию задачи.

Себестоимость 500 ₽, цена 900 ₽: прибыль с единицы $900 - 500 = 400$ ₽.
Прибыль с единицы 800 ₽, нужно 7200 ₽: $7200 : 800 = 9$ единиц.

Наибольшее и наименьшее в модели

Парабола. У $f (x) = a x^{2} + b x + c$ при $a < 0$ наибольшее значение — в вершине:

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

абсцисса вершины параболы

Прибыль $P (x) = - x^{2} + 14 x$ (тыс. ₽), $x$ — число изделий. Найдите наибольшую прибыль.

$a = - 1 < 0$ — ветви вниз, максимум в вершине: $x_{0} = - \frac{14}{2 \cdot ( - 1 )} = 7$ .
$P (7) = - 49 + 98 = 49$ тыс. ₽. (Для $P = - x^{2} + 8 x$ : $x_{0} = 4$ .)

Производная. Для других функций ищем $f^{'} (x) = 0$ и проверяем смену знака:

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{'} меняет знак с « + » на « - » \Rightarrow x_{0} — точка максимума

обоснование максимума

Фраза «очевидно, это максимум» баллом не оплачивается: нужна ссылка на ветви параболы или на знак производной.

Если $x_{0}$ получилось дробным, а изделия штучные, сравните значения в двух ближайших целых точках.

Сумма и произведение

a + b = S \Rightarrow ab \leq (\frac{S}{2})^{2}; x + \frac{k ^{2}}{x} \geq 2 k (x > 0)

неравенство о средних для положительных чисел

Произведение двух положительных чисел с постоянной суммой наибольшее, когда числа равны. При постоянном произведении сумма наименьшая при равных слагаемых.

Огородить прямоугольный участок забором длиной 40 м: стороны $a + b = 20$ , площадь наибольшая при $a = b = 10$ : $S = 100$ м².

Эти две оценки закрывают многие задачи про ограду, коробку и средние издержки — без производной.

Выбор из двух вариантов

Два тарифа, покупка против аренды, старый станок против нового — модель одна: выписать затраты каждого варианта как функцию от объёма и решить неравенство «первый дешевле второго».

Правее точки пересечения тариф «А» дешевле

Тариф «А»: 400 ₽ в месяц и 2 ₽ за минуту; «Б»: 4 ₽ за минуту. С какого целого числа минут «А» дешевле?

$t$ — минуты в месяц. $400 + 2 t < 4 t$ , $t > 200$ .
При $t = 200$ тарифы равны ( $800$ ₽), поэтому ответ: $201$ .

Покупка 36 000 ₽ или аренда 1500 ₽ в месяц. Через сколько целых месяцев покупка выгоднее? $1500 m > 36000$ , $m > 24$ ; ответ $25$ .

Ответ почти всегда целый. Решив неравенство, берите ближайшее целое в нужную сторону и проверяйте подстановкой: при равенстве ни один вариант не «дешевле».

Выручка, безубыточность, коробка

Выручка $R = p \cdot q$ . Если спрос $q = a - b p$ , то $R (p) = a p - b p^{2}$ — парабола ветвями вниз, максимум при $p = \frac{a}{2 b}$ . Для $q = 240 - 4 p$ : $p = 30$ .
Точка безубыточности: доход равен затратам. Затраты $C = F + c x$ (постоянные $F$ и $c$ на изделие), цена $p$ : $p x \geq F + c x \Rightarrow x \geq \frac{F}{p - c}$ , ответ округляют вверх.
Коробка из квадратного листа со стороной $a$ (вырезают квадраты $x$ ): $V = x (a - 2 x)^{2}$ , максимум при $x = \frac{a}{6}$ .
Средние издержки $C (x) = x + \frac{k}{x}$ при $x > 0$ наименьшие при $x = k$ и равны $2 k$ .

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 18 ЕГЭ: планиметрия с решением

Потренироваться: задания по теме →

Подобие треугольников Вписанный угол

Простыми словами

Сложная геометрическая задача — это несколько простых фактов, «сцепленных» друг с другом. Почти всегда цепочку замыкает прямоугольный треугольник, вписанный угол или пара подобных треугольников. Нужно их найти на чертеже.

Два пункта: а) доказать (углы равны, четырёхугольник вписанный, отрезки пропорциональны), б) вычислить. 3 балла; доказательство а) даёт 1 балл и часто проще, чем кажется: хватает одного признака.

Треугольник и окружности

Формула	Смысл
$S = p r$	$p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности
$S = \frac{ab c}{4 R}$	$R$ — радиус описанной окружности
$\frac{a}{s i n A} = 2 R$	теорема синусов
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$	теорема косинусов
$r = \frac{a + b - c}{2}$ , $R = \frac{c}{2}$	в прямоугольном треугольнике ( $c$ — гипотенуза)

Катеты $9$ и $12$ : гипотенуза $15$ , $r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3$ .
Катеты $12$ и $16$ : гипотенуза $20$ — это диаметр описанной окружности, $R = 10$ .

Окружность: хорды и углы

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам:

(\frac{a}{2})^{2} + d^{2} = R^{2}

$R = 6$ , $d = 3$ : $\frac{a}{2} = 36 - 9 = 27$ , хорда $a = 227 \approx 10, 39$ .
Хорда $6$ , $d = 7$ : $R = 3^{2} + 7^{2} = 58 \approx 7, 62$ .

Вписанный уголравен половине дуги, на которую опирается; опирающийся на диаметр — прямой

Пересекающиеся хорды

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Касательнаяперпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны

Четырёхугольники

Вписанный

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

(и наоборот: если сумма противоположных углов

18 0^{\circ}

, около него можно описать окружность)

Описанный

A B + C D = BC + A D

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

; средняя линия

\frac{a + b}{2}

Ромб

S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}

; диагонали перпендикулярны и делятся пополам

Трапеция с основаниями $10$ и $15$ , высота $9$ : $S = \frac{10 + 15}{2} \cdot 9 = 112, 5$ .
Ромб с диагоналями $8$ и $14$ : половины $4$ и $7$ , сторона $16 + 49 = 65 \approx 8, 06$ .

Как искать решение

Ищите подобные треугольники: отмечайте равные углы на чертеже одинаковыми дужками — так подобие становится видно. У подобных треугольников с коэффициентом $k$ стороны относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .

Чертёж делайте крупным и по условию: на «кривом» чертеже верное соотношение увидеть невозможно.

В пункте а) нельзя опираться на то, что «видно по рисунку». Каждое равенство углов или отрезков — со ссылкой на теорему или признак.

Ещё факты для вычислений

Факт	Формула
проекция катета $a$ на гипотенузу; высота к гипотенузе	$a_{c} = \frac{a ^{2}}{c}$ ; $h = \frac{ab}{c}$
биссектриса делит сторону	в отношении прилежащих сторон: $\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{BC}$
угол между касательной и хордой	равен половине дуги, заключённой внутри него
длина окружности; площадь круга; сектор $α^{\circ}$	$2 π R$ ; $π R^{2}$ ; $π R^{2} \cdot \frac{α}{360}$
формула Герона	$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
трапеция, в которую вписана окружность	сумма боковых сторон равна сумме оснований
высота равнобедренной трапеции	$h^{2} = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}$ , $c$ — боковая сторона
диагональ параллелограмма	делит его на два равных треугольника (по половине площади)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 19 ЕГЭ: задача с параметром

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Параметр — это буква, которая играет роль числа, но число заранее не задано. Как ручка громкости: крутим $a$ — и уравнение меняется. Вопрос задачи: при каких положениях «ручки» у уравнения нужное число решений.

Исследование уравнения, неравенства или системы при всех значениях параметра. 4 балла, высокий уровень; баллы ставят и за частично верное обоснованное решение.

Три рабочих подхода

Аналитическийдискриминант, теорема Виета, условия на корни

Графическийстроим

y = f (x)

и прямую

y = a

, считаем точки пересечения

«Параметр как переменная»выражаем

a

через

x

и исследуем функцию

a (x)

или рисуем на плоскости

(x; a)

Квадратное уравнение с параметром

D = b^{2} - 4 a c

D > 0

— два корня,

D = 0

— один,

D < 0

— корней нет

$x^{2} - 3 x + a = 0$ имеет ровно один корень: $D = 9 - 4 a = 0$ , $a = 2, 25$ .
$x^{2} - 8 x + a = 0$ не имеет корней: $64 - 4 a < 0$ , $a > 16$ . Наименьшее целое такое $a$ — $17$ .

Если параметр стоит при $x^{2}$ ( $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ), случай $a = 0$ разбирают отдельно: уравнение становится линейным и имеет один корень $x = - \frac{1}{2}$ , хотя «формула дискриминанта» об этом молчит.

Для $x^{2} + p x + q = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . Корни разных знаков $⟺ q < 0$ ; оба положительны $⟺ D \geq 0, - p > 0, q > 0$ .

Графический метод

Уравнение $f (x) = a$ читаем так: горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график $y = f (x)$ . Число решений = число точек пересечения.

∣ x^{2} - 4∣ = a

: нет решений при

a < 0

, два при

a = 0

, четыре при

0 < a < 4

, три при

a = 4

, два при

a > 4

$∣ x ∣ = 6$ : прямая $y = 6$ пересекает «галочку» $y = ∣ x ∣$ в двух точках — 2 решения ( $\pm 6$ ).
$∣ x ∣ + 1 = 1$ , то есть $∣ x ∣ = 0$ : прямая касается вершины — 1 решение.

Число решений меняется на «особых» уровнях: вершины, изломы модуля, концы полуграфиков корня, асимптоты. Отмечайте их на чертеже — это и есть граничные значения $a$ .

Системы с параметром

Систему решают обычными способами (подстановкой, сложением), считая параметр числом. Для двух линейных уравнений:

Одно решение

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

Нет решений

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

Бесконечно много

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

${x + y = 9 x - y = 1$ : сложим — $2 x = 10$ , $x = 5$ , $y = 4$ .
${x + y = 6 x - y = 0$ : $x = y = 3$ .
${x + a y = 2 2 x + 4 y = 5$ не имеет решений при $\frac{1}{2} = \frac{a}{4} \neq = \frac{2}{5}$ , то есть при $a = 2$ .

Ответ задачи с параметром — все значения $a$ , включая граничные случаи. Проверяйте концы промежутков отдельно: строгое или нестрогое неравенство меняет ответ.

Простейшие случаи

$∣ x ∣ = a$ : два решения при $a > 0$ , одно при $a = 0$ , ни одного при $a < 0$ . Так же $x^{2} = a$ .
Прямая $y = c$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ при $c = \pm R$ . Уравнение $x^{2} + y^{2} = 0$ имеет единственное решение $(0; 0)$ .
Прямые $y = k x + b_{1}$ и $y = k x + b_{2}$ при $b_{1} \neq = b_{2}$ параллельны — система решений не имеет; при разных $k$ — одна точка пересечения.

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 20 ЕГЭ: числа и их свойства

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Это задача-головоломка: на доске числа, с ними что-то делают, и нужно понять, может ли случиться то или иное. Формулы почти не нужны — нужны аккуратные рассуждения, перебор вариантов и умение привести пример или доказать, что примера нет.

Обычно три пункта: а) «может ли…» — пример или контрпример; б) «верно ли, что всегда…» — доказательство или опровержение; в) «какое наибольшее (наименьшее)…» — оценка плюс пример. 4 балла; даже один верный пункт а) приносит балл.

Признаки делимости

На	Признак	Пример
2	последняя цифра чётная	746
3	сумма цифр делится на 3	$745$ : $7 + 4 + 5 = 16$ — не делится
4	число из двух последних цифр делится на 4	1 316: $16$ ⋮ 4
5	последняя цифра 0 или 5	835
9	сумма цифр делится на 9	738: $7 + 3 + 8 = 18$
11	знакочередующаяся сумма цифр делится на 11	1 331: $1 - 3 + 3 - 1 = 0$

Делимость на составное число проверяют по взаимно простым множителям: на 6 — на 2 и на 3; на 12 — на 3 и на 4.

Остатки

a = b q + r, 0 \leq r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

Остатки от деления на 6 «ходят по кругу»:

0, 1, \dots, 5

Остаток суммы равен остатку суммы остатков, остаток произведения — остатку произведения остатков. Так находят остаток большой степени, не вычисляя её.

$856 : 6 = 142$ , остаток $856 - 852 = 4$ .
Остаток $2^{100}$ при делении на 3: $2 \equiv - 1$ , значит $2^{100} \equiv (- 1)^{100} = 1$ . Остаток $1$ .

Квадрат целого числа при делении на 3 даёт остаток 0 или 1, при делении на 4 — тоже 0 или 1. Это частый ключ к ответу «нет, не может».

Оценка плюс пример

Ответ «наибольшее значение равно $N$ » требует двух частей: оценки (доказать, что больше $N$ быть не может) и примера (показать, что $N$ достигается). Без примера ставят на балл меньше.

Сумма 9 натуральных чисел равна 39. Каким наибольшим может быть наибольшее из них?

Оценка: остальные 8 чисел не меньше 1, их сумма $\geq 8$ , значит наибольшее $\leq 39 - 8 = 31$ .
Пример: $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 31$ . Ответ: $31$ .

Сумма 4 различных натуральных чисел равна 15. Каким наименьшим может быть наибольшее из них?

Оценка: если наибольшее $\leq 5$ , то сумма не больше $2 + 3 + 4 + 5 = 14 < 15$ . Значит, наибольшее $\geq 6$ .
Пример: $1 + 3 + 5 + 6 = 15$ . Ответ: $6$ .

Пример должен удовлетворять всем условиям (различные, натуральные, нужная сумма). Проверьте его до конца — ошибка в примере обнуляет пункт.

Последовательности и суммы

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

арифметическая прогрессия:

a_{1}

— первый член,

d

— разность,

n

— номер

$a_{1} = 9$ , $d = 7$ : $a_{11} = 9 + 10 \cdot 7 = 79$ .
$a_{1} = 5$ , $d = 4$ : $S_{8} = \frac{2 \cdot 5 + 7 \cdot 4}{2} \cdot 8 = \frac{38}{2} \cdot 8 = 152$ .

Полезные суммы: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; сумма $n$ первых нечётных чисел равна $n^{2}$ .

НОД, НОК, делители, прогрессии

НОД и НОК по разложениям: $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $54 = 2 \cdot 3^{3}$ ; НОД — меньшие степени ( $2 \cdot 3^{2} = 18$ ), НОК — большие. $НОД \cdot НОК = a \cdot b$ .
Число делителей $n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots$ равно $(k_{1} + 1) (k_{2} + 1) \dots$ : $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ — $4 \cdot 3 = 12$ делителей.
Сколько чисел от 1 до $N$ делится на $k$ : целая часть $\frac{N}{k}$ . Трёхзначных, кратных 20: от 100 до 980 — $\frac{980 - 100}{20} + 1 = 45$ .
Геометрическая прогрессия: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ ( $q \neq = 1$ ). Для $b_{1} = 7$ , $q = 2$ : $S_{6} = 7 \cdot 63 = 441$ .
Число членов арифметической прогрессии от $a_{1}$ до $a_{n}$ с разностью $d$ : $n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1$ .

Дополнительная тема · ЕГЭ профиль

Наибольшее и наименьшее значение функции

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Идём по горной тропе от посёлка A до посёлка B. Самая высокая точка пути — это либо одна из вершин по дороге, либо сам конечный посёлок, если тропа всё время шла вверх. Так же и у функции на отрезке: наибольшее значение — в точке экстремума или на конце.

До 2027 года это было отдельное задание 12; теперь отдельного номера нет, но умение нужно в заданиях 9 и 17.

Точка максимумазначение

x

, где функция переходит от роста к убыванию (ответ — абсцисса)

Наибольшее значениесамо значение

y

— самая высокая точка графика на промежутке

Читайте вопрос: «точка минимума» — это $x$ , «наименьшее значение» — это $y$ . Перепутать — потерять балл.

Алгоритм

Найти производную $f^{'} (x)$ (и область определения).
Решить $f^{'} (x) = 0$ — получить критические точки.
Для точки экстремума: определить знаки $f^{'}$ слева и справа ( $+ \to -$ — максимум, $- \to +$ — минимум).
Для наибольшего/наименьшего на $[a; b]$ : отобрать критические точки внутри отрезка и сравнить значения в них и на концах $f (a)$ , $f (b)$ .

Локальный максимум не обязательно наибольшее значение: здесь оно достигается на конце

b

Квадратичная функция

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

вершина параболы

y = a x^{2} + b x + c

При $a > 0$ в вершине минимум, при $a < 0$ — максимум. Производная не обязательна.

$y = x^{2} - 4 x + 5$ : $x_{0} = \frac{4}{2} = 2$ , $a > 0$ — точка минимума $2$ .
$y = - x^{2} + 2 x + 3$ : $x_{0} = \frac{- 2}{- 2} = 1$ , $a < 0$ — точка максимума $1$ .

Многочлены и дроби

Найдите точку максимума $y = x^{3} - 48 x$ .

$y^{'} = 3 x^{2} - 48 = 3 (x - 4) (x + 4)$ ; нули $\pm 4$ .
Знаки $y^{'}$ : $+$ при $x < - 4$ , $-$ на $(- 4; 4)$ , $+$ при $x > 4$ .
Смена « $+$ » на « $-$ » в $x = - 4$ — точка максимума. (Для $y = x^{3} - 75 x$ точка минимума $x = 5$ .)

Типичные производные: $(x^{3} - 3 x)^{'} = 3 x^{2} - 3$ ; $(x + \frac{4}{x})^{'} = 1 - \frac{4}{x ^{2}}$ ; $(x e^{x})^{'} = e^{x} (x + 1)$ .

Логарифм и экспонента

Найдите точку минимума и наименьшее значение $y = x - ln x$ при $x > 0$ .

$y^{'} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ ; ноль $x = 1$ .
При $0 < x < 1$ $y^{'} < 0$ , при $x > 1$ $y^{'} > 0$ — минимум в $x = 1$ .
Наименьшее значение $y (1) = 1 - ln 1 = 1$ .

В заданиях с $ln x$ и $e^{x}$ ответ обычно «красивый»: точку подбирают так, чтобы $ln 1 = 0$ или $e^{0} = 1$ .

Проверяйте область определения: у логарифма и дроби она обрезает часть отрезка, и критическая точка может оказаться вне её.

ЕГЭ по математике (профиль): теория

Оглавление

Задание 1 ЕГЭ (профиль). Планиметрия

Простыми словами

Прямоугольный треугольник

Площади

Углы и окружность

Подобие

Ещё факты для задания 1

Задание 2 ЕГЭ (профиль). Векторы

Простыми словами

Координаты и длина

Действия с векторами

Скалярное произведение и угол

Ещё о векторах

Задание 3 ЕГЭ (профиль). Стереометрия

Простыми словами

Многогранники

Тела вращения

Как меняются объём и площадь

Ещё два факта

Задание 4 ЕГЭ: классическая вероятность

Простыми словами

Классическое определение

Как считать исходы

Противоположное событие

Монеты и таблицы исходов

Посмотреть на модели

Ожидаемое число

Задание 5 ЕГЭ: вероятность сложных событий

Простыми словами

Сложение и умножение

Приём «хотя бы один»

Дерево и формула полной вероятности

Частые ошибки

Посмотреть на модели

Задание 6 ЕГЭ: случайная величина

Простыми словами

Закон распределения

Математическое ожидание

Дисперсия и отклонение

Схема Бернулли

Посмотреть на модели

Задание 7 ЕГЭ: простейшие уравнения

Простыми словами

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Иррациональные уравнения

Тригонометрические уравнения

Рациональные уравнения

Ещё три вида

Задание 8 ЕГЭ: вычисления и преобразования

Простыми словами

Степени и корни

Логарифмы

Тригонометрия

Дробно-рациональные выражения

Ещё два правила

Задание 9 ЕГЭ: производная и график функции

Простыми словами

Знак производной и экстремумы

Касательная

Производные, которые нужно знать

Первообразная и площадь

Задание 10 ЕГЭ: прикладная задача

Простыми словами

Алгоритм

Линейные зависимости

Квадратичные формулы

Проценты и рост

Ещё формулы и проценты

Задание 11 ЕГЭ: текстовая задача

Простыми словами

Движение

Работа и производительность

Смеси, сплавы, растворы

Как составить уравнение

Протяжённый объект

Задание 12 ЕГЭ: графики функций

Простыми словами

Прямая $y = k x + b$

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$