Задание 3. Стереометрия — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 3. Стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. 1 балл · базовый уровень · 3 минуты. 100 заданий.

Простыми словами

Задание 3 — короткая задача про объёмные тела: найти объём, площадь поверхности или понять, во сколько раз они изменятся. Почти всё решается одной формулой из таблицы — важно выбрать нужную и не забыть коэффициент вроде $\frac{1}{3}$ . 1 балл, около 3 минут.

Многогранники

Тело	Формулы
Прямоугольный параллелепипед	$V = ab c$ ; $S = 2 (ab + b c + a c)$ ; диагональ $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Куб	$V = a^{3}$ ; $S = 6 a^{2}$ ; $d = a 3 www.reknow.ru$
Призма	$V = S_{осн} \cdot h$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

$a, b, c$ — рёбра; $h$ — высота; $S_{осн}$ — площадь основания; $d$ — диагональ.

Объём параллелепипеда 60, два его ребра 3 и 4. Найдите третье ребро и диагональ.

$c = \frac{60}{3 \cdot 4} = 5$ .
$d = 9 + 16 + 25 www.reknow.ru = 50 www.reknow.ru = 5 2 www.reknow.ru$ ; $d^{2} = 50$ .

Тела вращения

Конус с тем же основанием и высотой занимает ровно

\frac{1}{3}

объёма цилиндра

Тело	Объём	Поверхность
Цилиндр	$V = π r^{2} h$	$S_{бок} = 2 π r h$ ; $S_{полн} = 2 π r (h + r)$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$S_{бок} = π r l$ , где $l = r^{2} + h^{2} www.reknow.ru$
Шар, сфера	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$	$S = 4 π R^{2}$

$r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая конуса, $R$ — радиус шара.

Радиус основания цилиндра 3, высота 5. Найдите объём, делённый на $π$ .

$V = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = 45 π$ .
$\frac{V}{π} = 45$ — число $π$ в ответ не пишут.

Как меняются объём и площадь

Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз, а объём — в $k^{3}$ раз. Это верно для любых подобных тел, а не только для куба.

Ребро куба увеличили в 3 раза: площадь поверхности — в $9$ раз, объём — в $27$ раз.
Радиус шара увеличили в 2 раза: объём вырос в $2^{3} = 8$ раз.
У цилиндра увеличили только радиус в 2 раза (высота та же): объём вырос в $2^{2} = 4$ раза — здесь меняется не всё тело.

Если у двух тел одинаковая высота и равные площади сечений на каждом уровне, их объёмы равны — это принцип Кавальери; на нём держатся все формулы вида « $S \cdot h$ ».

Формулы $k^{2}$ и $k^{3}$ работают, только когда увеличены все размеры. Если меняется одно измерение, считайте по формуле объёма.

«Треть» — у всех тел с вершиной (конус, пирамида). У тел с двумя одинаковыми основаниями (цилиндр, призма) — просто $S_{осн} \cdot h$ .

Ещё два факта

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер, по 4 каждого направления: сумма длин $4 (a + b + c)$ .
Если все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны $a$ , то высота: $h^{2} = a^{2} - (\frac{a 2 www.reknow.ru}{2})^{2} = \frac{a ^{2}}{2}$ .
Объём наклонной призмы такой же, как у прямой с теми же основанием и высотой.

Примеры заданий 3 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 9, 5 и 3. Найдите его объём.

Показать ответ

Ответ: 135
Решение. V = 9 · 5 · 3 = 135.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен 108, два измерения — 9 и 3. Найдите третье.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. c = 108 : (9 · 3) = 4.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 11, 10 и 6. Найдите площадь его поверхности.

Показать ответ

Ответ: 472
Решение. S = 2 · (11·10 + 10·6 + 11·6) = 472.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 7 и 5. Найдите квадрат его диагонали.

Показать ответ

Ответ: 83
Решение. d² = 3² + 7² + 5² = 83.

Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда с измерениями 5, 10 и 9.

Показать ответ

Ответ: 96
Решение. Рёбер каждого направления по четыре: 4 · (5 + 10 + 9) = 96.

Площадь основания прямой призмы равна 8, высота — 12. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 96
Решение. V = S·h = 8 · 12 = 96.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, высота — 9. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 192
Решение. V = ⅓ · 8² · 9 = ⅓ · 64 · 9 = 192.

Радиус основания цилиндра равен 12, высота — 6. Найдите объём, делённый на π.

Показать ответ

Ответ: 864
Решение. V = π·12²·6 = 864π, делённый на π — 864.