Задание 6. Случайная величина — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 6. Случайная величина

Таблица распределения, математическое ожидание и дисперсия. 1 балл · повышенный уровень · 8 минут. 100 заданий. Новое задание варианта 2027 года.

Простыми словами

Покупаем лотерейный билет: выигрыш может быть 0, 100 или 1000 ₽ — заранее неизвестно, сколько. Такое число, зависящее от случая, называют случайной величиной. А «сколько в среднем выигрывает билет при тысячах покупок» — это её математическое ожидание.

Умение читать таблицу распределения, находить пропущенную вероятность, математическое ожидание и дисперсию. 1 балл, повышенный уровень.

Закон распределения

Случайная величина $X$ задаётся таблицей: в верхней строке — её значения $x_{i}$ , в нижней — их вероятности $p_{i}$ .

$x_{i}$	1	2	4	7
$p_{i}$	0,1	0,3	0,4	?

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

сумма всех вероятностей равна единице

$? = 1 - (0, 1 + 0, 3 + 0, 4) = 0, 2$ .
« $X$ не меньше 4» — это $X = 4$ или $X = 7$ : $P = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6$ .

Вероятность того, что $X$ примет одно из нескольких значений, — сумма их вероятностей.

Математическое ожидание

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

среднее значение величины при многих повторениях опыта

Каждое значение умножаем на его вероятность и всё складываем.

E (X) = 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 3 + 4 \cdot 0, 4 + 7 \cdot 0, 2 = 3, 7

Очки при броске кости: значения $1, \dots, 6$ , каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$ .

$E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5$ .

Ожидание не обязано быть одним из значений: у кубика оно $3, 5$ , хотя «три с половиной» не выпадает никогда.

Свойства:

$E (C) = C$ ожидание постоянной — она сама

$E (a X + b) = a E (X) + b$ растяжение и сдвиг

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ ожидание суммы

Дисперсия и отклонение

Дисперсия $D (X)$ показывает разброс значений вокруг ожидания: это среднее квадратов отклонений $x_{i} - E (X)$ . Считать удобнее так:

D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

где

E (X^{2}) = x_{1}^{2} p_{1} + \dots + x_{n}^{2} p_{n}

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение: $σ = D (X) www.reknow.ru$ . Дисперсия никогда не бывает отрицательной.

$X = 8$ с вероятностью $0, 8$ и $X = 3$ с вероятностью $0, 2$ . Найдите $D (X)$ .

$E (X) = 8 \cdot 0, 8 + 3 \cdot 0, 2 = 7$ .
$E (X^{2}) = 64 \cdot 0, 8 + 9 \cdot 0, 2 = 51, 2 + 1, 8 = 53$ .
$D (X) = 53 - 7^{2} = 4$ ; $σ = 2$ .

$D (X + b) = D (X)$ сдвиг разброса не меняет

$D (a X) = a^{2} D (X)$ множитель выходит в квадрате

Два самых частых промаха: написать $D (a X) = a D (X)$ вместо $a^{2} D (X)$ и забыть вычесть квадрат ожидания.

Схема Бернулли

Опыт повторяют $n$ раз независимо, в каждом успех — с вероятностью $p$ , неудача — с $q = 1 - p$ . Для числа успехов $X$ :

E (X) = n p, D (X) = n pq

таблицу строить не нужно

Монету бросают 100 раз, $X$ — число орлов: $E = 100 \cdot 0, 5 = 50$ , $D = 100 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 25$ . Для одного броска ( $n = 1$ ): $E = 0, 5$ , $D = 0, 25$ .

Посмотреть на модели

Интерактивные модели Лаборатории к этому номеру: опыт повторяется сотни раз, и видно, как частота приходит к вероятности.

Дисперсия и стандартное отклонениетяните точки на прямой — квадраты отклонений растут прямо на экране Испытания Бернулли и биномиальное распределениебросьте десять монет разом сто раз — и посмотрите, какой горб получается Случайная величина и математическое ожиданиесыграйте в лотерею тысячу раз и сравните средний выигрыш с математическим ожиданием Закон больших чисел и выборочное среднееберите выборки по 5, по 30, по 100 — и смотрите, как сужается разброс средних Ящик с усами: квартили и выбросытяните значения выборки — ящик, усы и точки-выбросы перестраиваются сами Нормальное распределение: правило трёх сигмсыпьте измерения под колокол и проверьте правило 68–95–99,7

Посмотреть и посчитать

Модели

Случайная величина и математическое ожидание

Примеры заданий 6 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В таблице задан закон распределения случайной величины X. Найдите вероятность, отмеченную знаком вопроса.

x	1	5	7	8
P	0,1	0,6	?	0,2

Показать ответ

Ответ: 0,1
Решение. Сумма всех вероятностей равна 1, поэтому искомая равна 1 − (0,1 + 0,6 + 0,2) = 0,1.

По таблице распределения найдите вероятность того, что X примет значение не меньше 7.

x	1	3	7	8
P	0,1	0,1	0,4	0,4

Показать ответ

Ответ: 0,8
Решение. Подходят значения 7 и 8: 0,4 + 0,4 = 0,8.

По таблице распределения найдите вероятность того, что X примет значение не больше 5.

x	4	5	6	8
P	0,2	0,2	0,3	0,3

Показать ответ

Ответ: 0,4
Решение. Подходят значения 4 и 5: 0,2 + 0,2 = 0,4.

По таблице распределения найдите вероятность того, что X примет значение, отличное от 5.

x	2	4	5	7
P	0,1	0,1	0,3	0,5

Показать ответ

Ответ: 0,7
Решение. Это противоположное событие: 1 − 0,3 = 0,7.

Какое значение случайная величина X принимает с наибольшей вероятностью?

x	3	6	8	9
P	0,1	0,1	0,5	0,3

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Наибольшая вероятность в таблице — 0,5, она стоит под значением 8.

По таблице распределения найдите вероятность того, что X больше 2.

x	2	5	8	9
P	0,3	0,4	0,1	0,2

Показать ответ

Ответ: 0,7
Решение. Все значения, кроме 2: 1 − 0,3 = 0,7.

Найдите математическое ожидание случайной величины X, заданной таблицей распределения.

x	2	4	7	8
P	0,4	0,2	0,1	0,3

Показать ответ

Ответ: 4,7
Решение. E(X) = 2·0,4 + 4·0,2 + 7·0,1 + 8·0,3 = 4,7.

Найдите дисперсию случайной величины X, заданной таблицей распределения.

x	2	3	8
P	0,5	0,1	0,4

Показать ответ

Ответ: 8,25
Решение. E(X) = 4,5; E(X²) = 2²·0,5 + 3²·0,1 + 8²·0,4 = 28,5. D(X) = 28,5 − 4,5² = 8,25.