Задание 8. Вычисления и преобразования — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 8. Вычисления и преобразования

Степени, логарифмы, тригонометрия, дробно-рациональные выражения. 1 балл · базовый уровень · 3 минуты. 100 заданий.

Простыми словами

Выражение вида $3^{6} \cdot 3^{4} : 3^{8}$ можно посчитать «в лоб» — получится $729 \cdot 81 : 6561$ , долго и с риском ошибки. А можно применить правило и за секунду получить $3^{2} = 9$ . Задание 8 — про то, чтобы сначала упростить, потом считать.

Знание свойств степеней, корней, логарифмов и тригонометрических формул. 1 балл, ответ — число (часто целое).

Степени и корни

Правило	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$3^{6} \cdot 3^{4} = 3^{10}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$3^{10} : 3^{8} = 3^{2} = 9$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(5^{4})^{2} = 5^{8}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$2^{5} \cdot 5^{5} = 1 0^{5}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a^{0} = 1$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
$a^{\frac{1}{n}} = n a www.reknow.ru$ , $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} www.reknow.ru$	$8^{\frac{2}{3}} = (3 8 www.reknow.ru)^{2} = 4$
$ab www.reknow.ru = a www.reknow.ru \cdot b www.reknow.ru$	$2 www.reknow.ru \cdot 18 www.reknow.ru = 36 www.reknow.ru = 6$

$(5^{4})^{2} : 5^{7} = 5^{8} : 5^{7} = 5^{1} = 5$ .

$a^{m} + a^{n} \neq = a^{m + n}$ : складывать показатели можно только при умножении. $2^{3} + 2^{3} = 16$ , а не $2^{6}$ .

Логарифмы

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ): логарифм — это показатель, в который нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

Свойство	Название
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	произведение
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	частное
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$	степень
$a^{l o g_{a} b} = b$	основное тождество
$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$	переход к новому основанию

$lo g_{10} 1000 = 3$ , так как $1 0^{3} = 1000$ .
$lo g_{5} 125 + lo g_{5} 5 = 3 + 1 = 4$ (или $lo g_{5} 625 = 4$ ).
$7^{l o g_{7} 9} = 9$ .

Тригонометрия

sin^{2} α + cos^{2} α = 1, tg α = \frac{sin α}{cos α}

основное тождество и тангенс

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий

$sin α = 0, 8$ . Найдите $cos^{2} α$ .

$cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - 0, 64 = 0, 36$ .

Двойной угол: $sin 2 α = 2 sin α cos α$ ; $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1$ .

Формулы приведения проверяют по четверти: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ; синусы смежных углов равны, косинусы противоположны.

Знак в формуле приведения — знак исходной функции в той четверти, где лежит угол; при $9 0^{\circ}$ и $27 0^{\circ}$ функция меняется на «кофункцию» ( $sin \leftrightarrow cos$ ), при $18 0^{\circ}$ и $36 0^{\circ}$ — нет.

Дробно-рациональные выражения

Сначала раскладываем на множители и сокращаем, потом подставляем числа: так короче и без деления на ноль.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов — главный инструмент

$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a - b} = a + b$ ; при $a = 10$ , $b = 3$ : $13$ .
$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b} = a - b$ ; при $a = 11$ , $b = 5$ : $6$ .

Ещё пригодятся: $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

Ещё два правила

Взаимно обратные логарифмы: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ , то есть $lo g_{b} a = \frac{1}{l o g _{a} b}$ . Пример: $lo g_{5} 125 \cdot lo g_{125} 5 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ .
Сокращать дробь можно только на общий множитель, а не на слагаемое: $\frac{a + b}{a} \neq = b$ . Сначала разложите числитель и знаменатель на множители.

Примеры заданий 8 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения 3⁶ · 3⁴ : 3⁸.

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Показатели складываются и вычитаются: 6 + 4 − 8 = 2, получаем 3² = 9.

Найдите значение выражения (5⁴)² : 5⁷.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 2·4 − 7 = 1, получаем 5.

Найдите значение выражения 3⁻² · 3³.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. −2 + 3 = 1, получаем 3.

Найдите значение выражения (10 · 11)² : 11².

Показать ответ

Ответ: 100
Решение. Степень произведения: 10² · 11² : 11² = 100.

Найдите значение выражения √100 · √121.

Показать ответ

Ответ: 110
Решение. 10 · 11 = 110.

Найдите значение выражения log₁₀ 1000.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 10³ = 1000, значит логарифм равен 3.

Найдите значение выражения sin²α + cos²α.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Основное тригонометрическое тождество.

Найдите значение выражения a² − b²a − b при a = 10, b = 3.

Показать ответ

Ответ: 13
Решение. Числитель — разность квадратов: (a − b)(a + b), после сокращения a + b = 10 + 3 = 13.