Задание 15. Стереометрия с решением — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 15. Стереометрия с решением

Углы, расстояния и сечения в многогранниках. 3 балла · повышенный уровень · 20 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Почти любая задача в пространстве сводится к плоскому прямоугольному треугольнику, «спрятанному» внутри фигуры. Нужно его увидеть, вытащить на отдельный рисунок и применить теорему Пифагора или тригонометрию.

Два пункта: а) доказать утверждение (прямые перпендикулярны, сечение — определённая фигура), б) вычислить угол, расстояние, площадь или объём. 3 балла; доказательство пункта а) стоит 1 балл и часто укладывается в пару строк со ссылкой на теорему.

Куб и прямоугольный параллелепипед

Диагональ грани

a 2 www.reknow.ru

, диагональ куба

a 3 www.reknow.ru

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

a, b, c

; у куба

d = a 3 www.reknow.ru

Куб с ребром $5$ : квадрат диагонали $d^{2} = 3 \cdot 25 = 75$ .
Квадрат диагонали грани: $5^{2} + 5^{2} = 50$ .

Призма и пирамида

Фигура	Объём	Боковая поверхность
прямая призма	$V = S_{осн} \cdot h$	$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$	правильная: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

$S_{осн}$ — площадь основания, $P_{осн}$ — его периметр, $h$ — высота, $l$ — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды).

Правильная четырёхугольная призма, сторона $8$ , высота $4$ : $V = 64 \cdot 4 = 256$ ; $S_{бок} = 32 \cdot 4 = 128$ .
Правильная четырёхугольная пирамида, сторона $10$ , высота $12$ : $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$ .
Сторона $8$ , высота $12$ . Апофема — гипотенуза треугольника с катетами $h = 12$ и половиной стороны $4$ : $l = 144 + 16 www.reknow.ru = 160 www.reknow.ru \approx 12, 65$ .

В пирамиде не путайте высоту $h$ , апофему $l$ и боковое ребро: это три разных отрезка, и у каждого свой прямоугольный треугольник.

Опорные теоремы для пункта а)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда этой прямой перпендикулярна проекция наклонной.

Угол прямой и плоскостиугол между прямой и её проекцией на плоскость

Угол между плоскостямиугол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в каждой плоскости

Расстояние от точки до плоскостидлина перпендикуляра

Координатный метод

В кубе и прямоугольном параллелепипеде удобно ввести систему координат с началом в вершине.

cos φ = \frac{∣ x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} + z _{1} z _{2} ∣}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} + z _{1}^{2} www.reknow.ru \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} + z _{2}^{2} www.reknow.ru}

угол между прямыми с направляющими векторами

(x_{1}; y_{1}; z_{1})

(x_{2}; y_{2}; z_{2})

ρ = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} www.reknow.ru}

расстояние от точки

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

до плоскости

A x + B y + C z + D = 0

Чертёж обязателен: без него проверяющий не поймёт, какие точки обозначены буквами, и снимет балл за неполное обоснование.

Ещё отрезки в кубе и пирамиде

Диагональное сечение куба с ребром $a$ — прямоугольник $a \times a 2 www.reknow.ru$ , площадь $a^{2} 2 www.reknow.ru$ . Расстояние от центра куба до грани — $\frac{a}{2}$ .
Боковое ребро $b$ правильной четырёхугольной пирамиды: $b^{2} = h^{2} + (\frac{d}{2})^{2}$ , где $\frac{d}{2} = \frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$ — половина диагонали основания.

Примеры заданий 15 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите квадрат диагонали куба с ребром 5.

Показать ответ

Ответ: 75
Решение. d² = a² + a² + a² = 3a²: получаем 75.

Найдите квадрат диагонали грани куба с ребром 5.

Показать ответ

Ответ: 50
Решение. d₁² = a² + a²: получаем 50.

Найдите объём куба с ребром 6.

Показать ответ

Ответ: 216
Решение. V = a³: получаем 216.

Найдите площадь поверхности куба с ребром 3.

Показать ответ

Ответ: 54
Решение. S = 6a²: получаем 54.

Найдите площадь диагонального сечения куба с ребром 6. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 50,91
Решение. S = a · a√2: получаем 50,91.

Найдите угол (в градусах) между диагональю грани куба и ребром, выходящим из той же вершины в этой грани.

Показать ответ

Ответ: 45
Решение. tg α = aa = 1: получаем 45.

В правильной четырёхугольной призме сторона основания 8, высота 4. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 256
Решение. V = a²h: получаем 256.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 10, высота 12. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 400
Решение. V = ⅓a²h: получаем 400.