Задание 14. Уравнения и системы — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 14. Уравнения и системы

Решение уравнения и отбор корней на отрезке. 2 балла · повышенный уровень · 10 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

У тригонометрического уравнения корней бесконечно много — они повторяются через период, как деления на рулетке. Пункт а) — найти все эти «деления» одной формулой, пункт б) — отрезать кусок рулетки и сосчитать, какие деления на нём лежат.

Задание из двух пунктов: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. 2 балла: оба пункта решены обоснованно — 2; верно решён только пункт а) — 1.

Простейшие уравнения

Уравнение	Решения ( $n \in Z$ )	В градусах
$sin x = a$	$x = (- 1)^{n} arcsin a + πn$	$sin x = \frac{1}{2}$ : $3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn$	$cos x = \frac{1}{2}$ : $\pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$
$tg x = a$	$x = arctg a + πn$	$tg x = 1$ : $4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
$sin x = 0$	$x = πn$	$18 0^{\circ} n$
$cos x = 0$	$x = \frac{π}{2} + πn$	$9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$

Серию $(- 1)^{n} arcsin a + πn$ удобнее записать двумя сериями с шагом $2 π$ : $x = arcsin a + 2 πn$ и $x = π - arcsin a + 2 πn$ — с ними проще отбирать корни.

Как отбирать корни

Способ 1 — двойное неравенство. Подставляем серию в условие $a \leq x \leq b$ и находим целые $n$ .

$cos x = \frac{1}{2}$ . Найдите наибольший корень на $[36 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]$ .

Серия $6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $360 \leq 60 + 360 n \leq 900$ , $n \in {1; 2}$ — корни $42 0^{\circ}, 78 0^{\circ}$ .
Серия $- 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ : $360 \leq - 60 + 360 n \leq 900$ , $n = 2$ — корень $66 0^{\circ}$ .
Наибольший: $78 0^{\circ}$ .

Корни

cos x = \frac{1}{2}

на отрезке

[36 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]

Способ 2 — единичная окружность. Отмечаем дугу отрезка и точки серий на ней; хорошо подходит для проверки.

$sin x = 0$ на $[36 0^{\circ}; 108 0^{\circ}]$ : $36 0^{\circ}, 54 0^{\circ}, 72 0^{\circ}, 90 0^{\circ}, 108 0^{\circ}$ — 5 корней (концы входят!).
$cos x = 0$ на $[18 0^{\circ}; 90 0^{\circ}]$ : $27 0^{\circ}, 45 0^{\circ}, 63 0^{\circ}, 81 0^{\circ}$ , сумма $216 0^{\circ}$ .

Уравнения с заменой

Замена $t = sin x$ (или $t = cos x$ ) превращает уравнение в квадратное. После решения проверяем $∣ t ∣ \leq 1$ : корень $t = 2$ — посторонний.

а) $2 cos^{2} x - cos x = 0$ ; б) наименьший корень на $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ .

$cos x (2 cos x - 1) = 0$ : $cos x = 0$ или $cos x = \frac{1}{2}$ .
а) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ ; $x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ .
б) На $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ : $6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$ . Наименьший — $6 0^{\circ}$ .

$2 sin^{2} x - sin x = 0$ : $sin x = 0$ или $sin x = \frac{1}{2}$ . На $[36 0^{\circ}; 72 0^{\circ}]$ наименьший корень — $36 0^{\circ}$ (из серии $sin x = 0$ ).

Не делите обе части на $sin x$ или $cos x$ — потеряете корни, где они равны нулю. Выносите за скобки.

Проверяйте область определения: в уравнениях с тангенсом и дробями часть корней выпадает ( $tg x$ не существует при $cos x = 0$ ).

Ещё виды для пункта а)

$sin^{2} x = 1 ⟺ sin x = \pm 1 ⟺ x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ ; $cos^{2} x = 1 ⟺ x = 18 0^{\circ} n$ ; $tg^{2} x = 1 ⟺ x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ .
Двойной аргумент: $cos 2 x = 1 \Rightarrow 2 x = 36 0^{\circ} n$ , $x = 18 0^{\circ} n$ ; $cos 2 x = - 1 \Rightarrow 2 x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n$ , $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$ . Сначала решают относительно $2 x$ , потом делят серию на 2.
Квадратное относительно $sin x$ : $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0 \Rightarrow sin x = \frac{1}{2}$ или $sin x = - 1$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий 14 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

а) Решите уравнение sin x = 0,5. б) Найдите наименьший корень уравнения, принадлежащий отрезку [0°; 720°]. В поле ответа введите этот корень в градусах.

Показать ответ

Ответ: 30
Решение. Корни в отрезке: 30°, 150°, 390°, 510°; наименьший из них — 30°.

а) Решите уравнение cos x = 0,5. б) Найдите наибольший корень уравнения на отрезке [360°; 900°]. В поле ответа введите его в градусах.

Показать ответ

Ответ: 780
Решение. Корни в отрезке: 420°, 660°, 780°; наибольший из них — 780°.

а) Решите уравнение sin x = 0. б) Сколько корней уравнения принадлежит отрезку [−720°; −180°]? В поле ответа введите их число.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Корни в отрезке: −720°, −540°, −360°, −180°; всего их 4.

а) Решите уравнение cos x = 0. б) Найдите сумму корней уравнения на отрезке [720°; 1260°]. В поле ответа введите сумму в градусах.

Показать ответ

Ответ: 2970
Решение. Корни в отрезке: 810°, 990°, 1170°; их сумма равна 2970.

а) Решите уравнение tg x = 1. б) Найдите наименьший корень уравнения, принадлежащий отрезку [180°; 540°]. В поле ответа введите этот корень в градусах.

Показать ответ

Ответ: 225
Решение. Корни в отрезке: 225°, 405°; наименьший из них — 225°.

а) Решите уравнение sin x = 1. б) Найдите наибольший корень уравнения на отрезке [−720°; −180°]. В поле ответа введите его в градусах.

Показать ответ

Ответ: -270
Решение. Корни в отрезке: −630°, −270°; наибольший из них — −270°.

а) Решите уравнение 2sin²x − sin x = 0. б) Найдите наименьший корень уравнения из отрезка [360°; 720°]. В поле ответа введите его в градусах.

Показать ответ

Ответ: 360
Решение. Корни из отрезка: 360°, 390°, 720°; наименьший — 360°.

Решите уравнение sin x = 0 и найдите, сколько его корней принадлежит отрезку [360°; 1080°]. В поле ответа введите их количество.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Корни: 360°, 540°, 720°, 900°, 1080°. Корней в отрезке 5.