Задание 13. Финансовая задача — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 13. Финансовая задача

Вклады, кредиты и проценты — с кратким ответом. 1 балл · повышенный уровень · 10 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом. Новое задание варианта 2027 года.

Простыми словами

Банк начисляет проценты не «по одному разу», а на уже наросшую сумму: в следующем году проценты набегают и на прошлые проценты. Поэтому денежные задачи решают умножением на коэффициент, а не сложением процентов.

Расчёт вклада, кредита или цены после нескольких изменений в процентах. Ответ краткий — число, обычно в рублях. 1 балл.

Процент — это множитель

k = 1 + \frac{p}{100}

увеличение на

p %

— умножение на

k

; уменьшение — умножение на

1 - \frac{p}{100}

За $n$ одинаковых периодов коэффициент возводится в степень: $S_{n} = S \cdot k^{n}$ .

5000 ₽, скидка 25%, потом ещё 5%: $5000 \cdot 0, 75 \cdot 0, 95 = 3562, 5$ ₽.
8000 ₽, $+ 20%$ , затем $- 20%$ : $8000 \cdot 1, 2 \cdot 0, 8 = 8000 \cdot 0, 96 = 7680$ ₽.

Проценты от разных баз складывать нельзя: рост на 20% и падение на 20% дают не исходную цену, а $0, 96$ от неё.

Вклад

Сложные проценты (капитализация)

S_{n} = S \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

— проценты начисляются на текущую сумму

Простые проценты

S_{n} = S \cdot (1 + \frac{n p}{100})

— каждый раз от первоначальной суммы

$S$ — вложенная сумма, $p$ — годовая ставка в процентах, $n$ — число лет.

$1000000$ ₽ под 20% с капитализацией, 2 года: $1000000 \cdot 1, 2^{2} = 1440000$ ₽.
$500000$ ₽ под 25%: доход за первый год $500000 \cdot 0, 25 = 125000$ ₽.

Доход — это разность итоговой и вложенной суммы, а не сама итоговая сумма. «Какая сумма на счёте» и «каков доход» — разные вопросы.

Кредит: дифференцированные платежи

Долг гасится равными частями, проценты начисляются на остаток, поэтому платёж с каждым годом уменьшается.

Кредит

600

тыс. ₽ под 25% на 2 года: переплата

150 + 75 = 225

тыс. ₽

Кредит $1500000$ ₽ под 10% на 3 года, долг гасится равными частями. Найдите первый платёж.

Часть долга: $1500000 : 3 = 500000$ .
Проценты за 1-й год: $1500000 \cdot 0, 1 = 150000$ .
Первый платёж: $650000$ ₽.

Проценты по годам образуют арифметическую прогрессию: переплата $= \frac{p}{100} \cdot \frac{S}{n} \cdot (n + (n - 1) + \dots + 1) = \frac{p}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ . Проверка: $0, 25 \cdot 600 \cdot \frac{3}{2} = 225$ тыс.

Кредит: аннуитетные платежи

Платёж $X$ одинаковый каждый год. Каждый год долг умножается на $k$ , затем уменьшается на $X$ ; после $n$ платежей он равен нулю:

S \cdot k^{n} = X \cdot (k^{n - 1} + k^{n - 2} + \dots + k + 1)

S

— кредит,

k = 1 + \frac{p}{100}

X

— ежегодный платёж

Кредит на 2 года под 10%, платёж $X = 1210000$ ₽. Найдите сумму кредита.

$S \cdot 1, 21 = X \cdot (1, 1 + 1) = 2, 1 X$ .
$S = \frac{2 , 1 \cdot 1 210 000}{1 , 21} = 2100000$ ₽. Всего выплачено $2 X = 2420000$ ₽.

Округляйте только в самом конце: округлённый в середине коэффициент сдвигает ответ на сотни рублей. Здравый смысл: при разумной ставке переплата меньше кредита, а вклад не уменьшается.

НДС, наценка, инфляция

Цена с НДС (наценкой) $p %$ : умножить на $1 + \frac{p}{100}$ . Цена без НДС 1200 ₽, НДС 25%: $1200 \cdot 1, 25 = 1500$ ₽. Закупка 1200 ₽, наценка 10%: $1320$ ₽.
Цену до скидки находят делением: цена после скидки 10% равна 10 800 ₽ — до скидки $10800 : 0, 9 = 12000$ ₽.
Инфляция $p %$ в год за $n$ лет: цены растут в $(1 + \frac{p}{100})^{n}$ раз, во столько же раз обесцениваются деньги ( $1, 2 5^{3} \approx 1, 95$ ).
Две скидки подряд по 20% выгоднее одной в 20%: итог $0, 8 \cdot 0, 8 = 0, 64$ цены, то есть всего $- 36%$ , а не $- 40%$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложный процент

Примеры заданий 13 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Вклад 1000000 рублей размещён под 20% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет на счёте через 2 года?

Показать ответ

Ответ: 1440000
Решение. Ответ: 1440000.

Вклад 500000 рублей под 25% годовых. Найдите доход за первый год.

Показать ответ

Ответ: 125000
Решение. Ответ: 125000.

Вклад 1000000 рублей под 5% годовых с капитализацией. Найдите доход за 3 года.

Показать ответ

Ответ: 157625
Решение. Ответ: 157625.

Через 2 года вклад вырос до 1562500 рублей при ставке 25% годовых. Какая сумма была вложена изначально?

Показать ответ

Ответ: 1000000
Решение. Ответ: 1000000.

Вклад 500000 рублей за год вырос до 525000 рублей. Какова годовая ставка в процентах?

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Ответ: 5.

Вклад 200000 рублей размещён под 20% годовых. На сколько процентов вырастет сумма за 3 года? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 72,8
Решение. Ответ: 72,8.

Кредит 600000 рублей взят под 25% годовых на 2 года. Долг уменьшается равными частями. Найдите переплату по процентам.

Показать ответ

Ответ: 225000
Решение. Ответ: 225000.

Цена товара 5000 рублей. Сначала её снизили на 25%, а потом ещё на 5%. Сколько стал стоить товар?

Показать ответ

Ответ: 3562,5
Решение. Ответ: 3562,5.