Задание 12. Графики функций

Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Восстановление коэффициентов функции по её графику. 1 балл · повышенный уровень · 8 минут. 100 заданий.

Простыми словами

Каждая буква в формуле функции «отвечает» за что-то видимое на графике: где он пересекает ось, куда смотрят ветви, насколько круто поднимается. Зная это, формулу можно прочитать по картинке, как адрес на конверте.

На рисунке — график функции известного вида; нужно найти её коэффициенты и затем значение функции или точку пересечения графиков. 1 балл.

Прямая $y = k x + b$

$b$ ордината точки пересечения с осью

O y

(значение при

x = 0

)

$k$ угловой коэффициент: на сколько меняется

y

при сдвиге на

1

вправо

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

угловой коэффициент по двум точкам

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

Точки $(- 2; - 10)$ и $(2; 6)$ : $k = \frac{6 - ( - 10 )}{2 - ( - 2 )} = \frac{16}{4} = 4$ .
$y = 2 x - 2$ пересекает $O y$ при $x = 0$ : $y = - 2$ .

$k > 0$ — прямая идёт вверх, $k < 0$ — вниз, $k = 0$ — горизонтальная. Параллельные прямые имеют равные $k$ .

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$

y = - (x + 1) (x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3

Что видно	Что это даёт
ветви вверх / вниз	$a > 0$ / $a < 0$
пересечение с $O y$	$c$
вершина	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
корни $x_{1}, x_{2}$	$y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , $x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$
вершина $(x_{0}; y_{0})$	$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

Корни $- 1$ и $3$ , $a = - 1$ : $y = - (x + 1) (x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3$ , значит $c = 3$ .
Корни $- 1$ и $2$ : вершина посередине, $x_{0} = \frac{- 1 + 2}{2} = 0, 5$ .

Гипербола и другие графики

$y = \frac{k}{x}$ гипербола; при

k > 0

ветви в I и III четвертях, при

k < 0

— во II и IV.

k = x \cdot y

для любой точки графика.

$y = x - a www.reknow.ru$ «половина параболы», начинается в точке

(a; 0)

и растёт вправо

$y = a^{x}$ проходит через

(0; 1)

; растёт при

a > 1

$y = lo g_{a} x$ проходит через

(1; 0)

; определена при

x > 0

$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(3; - 2)$ : $k = 3 \cdot (- 2) = - 6$ .
$y = \frac{8}{x}$ при $x = 4$ : $y = 2$ .

Главный приём

Подставьте в формулу координаты двух-трёх отмеченных на графике точек (у них целые координаты — их отмечают именно для этого) и решите получившуюся систему.

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$ проходит через $(0; 1)$ , $(1; 2)$ , $(- 1; 4)$ .

$x = 0$ : $c = 1$ .
$a + b + 1 = 2$ и $a - b + 1 = 4$ , откуда $a = 2$ , $b = - 1$ .
$y = 2 x^{2} - x + 1$ .

Проверяйте ответ по ещё одной точке графика: если она не подошла, скорее всего, ошибка в знаке коэффициента.

Модуль и монотонность гиперболы

$y = ∣ x - a ∣ + b$ — «галочка» с вершиной в точке $(a; b)$ ; $y = ∣ x ∣ + 5$ пересекает $O y$ в точке $(0; 5)$ .
$y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ убывает на каждом из промежутков $(- \infty; 0)$ и $(0; + \infty)$ , при $k < 0$ — возрастает на каждом из них. Ось $O y$ гипербола не пересекает: при $x = 0$ функция не определена.

Посмотреть и посчитать

Модели

Обратная пропорциональность Линейная функция Квадратичная функция

Примеры заданий 12 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

График функции y = 2x − 2 пересекает ось Oy в точке с ординатой…

Показать ответ

Ответ: -2
Решение. При x = 0 получаем y = −2.

Найдите значение функции y = x − 5 при x = 0.

Показать ответ

Ответ: -5
Решение. y = 1·0 + (−5) = −5.

При каком x функция y = −x + 2 обращается в нуль? Ответ округлите до сотых при необходимости.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. −1x + (2) = 0, x = 2.

Прямая проходит через точки (0; 2) и (1; 3). Найдите b в уравнении y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. k = 1; подставляя первую точку: b = 2 − 1·(0) = 2.

Прямая задана уравнением y = 3x − 2. Возрастает она или убывает? В ответ запишите 1, если возрастает, 0 — если убывает.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Знак углового коэффициента 3 определяет направление.

Найдите угловой коэффициент прямой, параллельной y = 2x − 2.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны.

Парабола пересекает ось Ox в точках −1 и 2. Найдите абсциссу её вершины.

Показать ответ

Ответ: 0,5
Решение. x₀ = (−1 + 2) : 2 = 0,5.

Найдите значение функции y = 8x при x = 4.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. y = 8 : 4 = 2.

Простыми словами

Прямая y=kx+b

Парабола y=ax2+bx+c

Гипербола и другие графики

Главный приём

Модуль и монотонность гиперболы

Примеры заданий 12 ЕГЭ по математике (профиль)

Прямая $y = k x + b$

Парабола $y = a x^{2} + b x + c$