Задание 18. Планиметрия с решением — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 18. Планиметрия с решением

Окружности, четырёхугольники и подобие в одной задаче. 3 балла · повышенный уровень · 35 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Сложная геометрическая задача — это несколько простых фактов, «сцепленных» друг с другом. Почти всегда цепочку замыкает прямоугольный треугольник, вписанный угол или пара подобных треугольников. Нужно их найти на чертеже.

Два пункта: а) доказать (углы равны, четырёхугольник вписанный, отрезки пропорциональны), б) вычислить. 3 балла; доказательство а) даёт 1 балл и часто проще, чем кажется: хватает одного признака.

Треугольник и окружности

Формула	Смысл
$S = p r$	$p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности
$S = \frac{ab c}{4 R}$	$R$ — радиус описанной окружности
$\frac{a}{s i n A} = 2 R$	теорема синусов
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$	теорема косинусов
$r = \frac{a + b - c}{2}$ , $R = \frac{c}{2}$	в прямоугольном треугольнике ( $c$ — гипотенуза)

Катеты $9$ и $12$ : гипотенуза $15$ , $r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3$ .
Катеты $12$ и $16$ : гипотенуза $20$ — это диаметр описанной окружности, $R = 10$ .

Окружность: хорды и углы

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам:

(\frac{a}{2})^{2} + d^{2} = R^{2}

$R = 6$ , $d = 3$ : $\frac{a}{2} = 36 - 9 www.reknow.ru = 27 www.reknow.ru$ , хорда $a = 2 27 www.reknow.ru \approx 10, 39$ .
Хорда $6$ , $d = 7$ : $R = 3^{2} + 7^{2} www.reknow.ru = 58 www.reknow.ru \approx 7, 62$ .

Вписанный уголравен половине дуги, на которую опирается; опирающийся на диаметр — прямой

Пересекающиеся хорды

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Касательнаяперпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны

Четырёхугольники

Вписанный

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

(и наоборот: если сумма противоположных углов

18 0^{\circ}

, около него можно описать окружность)

Описанный

A B + C D = BC + A D

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

; средняя линия

\frac{a + b}{2}

Ромб

S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}

; диагонали перпендикулярны и делятся пополам

Трапеция с основаниями $10$ и $15$ , высота $9$ : $S = \frac{10 + 15}{2} \cdot 9 = 112, 5$ .
Ромб с диагоналями $8$ и $14$ : половины $4$ и $7$ , сторона $16 + 49 www.reknow.ru = 65 www.reknow.ru \approx 8, 06$ .

Как искать решение

Ищите подобные треугольники: отмечайте равные углы на чертеже одинаковыми дужками — так подобие становится видно. У подобных треугольников с коэффициентом $k$ стороны относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .

Чертёж делайте крупным и по условию: на «кривом» чертеже верное соотношение увидеть невозможно.

В пункте а) нельзя опираться на то, что «видно по рисунку». Каждое равенство углов или отрезков — со ссылкой на теорему или признак.

Ещё факты для вычислений

Факт	Формула
проекция катета $a$ на гипотенузу; высота к гипотенузе	$a_{c} = \frac{a ^{2}}{c}$ ; $h = \frac{ab}{c}$
биссектриса делит сторону	в отношении прилежащих сторон: $\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{BC}$
угол между касательной и хордой	равен половине дуги, заключённой внутри него
длина окружности; площадь круга; сектор $α^{\circ}$	$2 π R$ ; $π R^{2}$ ; $π R^{2} \cdot \frac{α}{360}$
формула Герона	$S = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru$
трапеция, в которую вписана окружность	сумма боковых сторон равна сумме оснований
высота равнобедренной трапеции	$h^{2} = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}$ , $c$ — боковая сторона
диагональ параллелограмма	делит его на два равных треугольника (по половине площади)

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников Вписанный угол

Примеры заданий 18 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12. Найдите радиус вписанной окружности.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Ответ: 3.

В прямоугольном треугольнике катеты 12 и 16. Найдите радиус описанной окружности.

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. Ответ: 10.

В треугольнике со сторонами 7, 24 и 25 найдите площадь.

Показать ответ

Ответ: 84
Решение. Ответ: 84.

В прямоугольном треугольнике катеты 20 и 21. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 14,48
Решение. Ответ: 14,48.

В прямоугольном треугольнике катеты 3 и 4. Найдите проекцию катета 3 на гипотенузу. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 1,8
Решение. Ответ: 1,8.

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 12,5. Найдите гипотенузу.

Показать ответ

Ответ: 25
Решение. Ответ: 25.

Радиус окружности 6, расстояние от центра до хорды 3. Найдите длину хорды. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 10,39
Решение. Ответ: 10,39.

Основания трапеции равны 10 и 15, высота 9. Найдите площадь.

Показать ответ

Ответ: 112,5
Решение. Ответ: 112,5.