Задание 20. Числа и их свойства

Простыми словами

Это задача-головоломка: на доске числа, с ними что-то делают, и нужно понять, может ли случиться то или иное. Формулы почти не нужны — нужны аккуратные рассуждения, перебор вариантов и умение привести пример или доказать, что примера нет.

Признаки делимости

Делимость на составное число проверяют по взаимно простым множителям: на 6 — на 2 и на 3; на 12 — на 3 и на 4.

Остатки

Остаток суммы равен остатку суммы остатков, остаток произведения — остатку произведения остатков. Так находят остаток большой степени, не вычисляя её.

Оценка плюс пример

Ответ «наибольшее значение равно $N$» требует двух частей: оценки (доказать, что больше $N$ быть не может) и примера (показать, что $N$ достигается). Без примера ставят на балл меньше.

Последовательности и суммы

Полезные суммы: $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$; сумма $n$ первых нечётных чисел равна $n^2$.

НОД, НОК, делители, прогрессии

• НОД и НОК по разложениям: $36=2^2\cdot 3^2$, $54=2\cdot 3^3$; НОД — меньшие степени ($2\cdot 3^2=18$), НОК — большие. $\text{НОД}\cdot \text{НОК}=a\cdot b$.
• Число делителей $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots$ равно $(k_1+1)(k_2+1)\cdots$: $72=2^3\cdot 3^2$ — $4\cdot 3=12$ делителей.
• Сколько чисел от 1 до $N$ делится на $k$: целая часть $\frac{N}{k}$. Трёхзначных, кратных 20: от 100 до 980 — $\frac{980-100}{20}+1=45$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ ($q\ne 1$). Для $b_1=7$, $q=2$: $S_6=7\cdot 63=441$.
• Число членов арифметической прогрессии от $a_1$ до $a_n$ с разностью $d$: $n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$.