Задание 16. Неравенство — ЕГЭ по математике (профиль)

Часть 2 — развёрнутый ответ (задания 14–20) · ЕГЭ профиль

Задание 16. Неравенство

Показательные, логарифмические и дробно-рациональные неравенства. 2 балла · повышенный уровень · 10 минут. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Решить неравенство — найти не одно число, а целый промежуток подходящих чисел. Главное — не «перевернуть» знак по ошибке и не забыть, где выражение вообще имеет смысл (под логарифмом — только положительное, в знаменателе — не ноль).

Решение показательного, логарифмического или дробно-рационального неравенства с полным обоснованием. 2 балла; 1 балл — если ответ отличается от верного только из-за исключения или включения граничных точек, или если при верной последовательности шагов допущена вычислительная ошибка.

Показательные неравенства

$a > 1$

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)

— знак сохраняется

$0 < a < 1$

a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) < g (x)

— знак меняется

$3^{2 x + 6} > 3^{1}$ ; основание $3 > 1$ : $2 x + 6 > 1$ , $x > - 2, 5$ . Наименьшее целое решение: $- 2$ .
$5^{3 x + 4} < 5^{3}$ : $3 x + 4 < 3$ , $x < - \frac{1}{3}$ . На $[- 5; 3]$ целые решения $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1$ — их $5$ .
$(\frac{1}{2})^{x} > 4 = (\frac{1}{2})^{- 2}$ : основание меньше 1, знак меняется: $x < - 2$ .

Основание $0 < a < 1$ — место, где теряют баллы чаще всего. Перед «снятием» степени всегда смотрите на основание.

Логарифмические неравенства

Записать область определения: всё под логарифмом строго больше нуля.
Представить правую часть как логарифм с тем же основанием: $2 = lo g_{2} 4$ .
Убрать логарифмы по тому же правилу знака, что и у степеней.
Ответ — пересечение с областью определения.

$lo g_{2} (x + 9) > 2$ : ОДЗ $x > - 9$ ; $x + 9 > 4$ , $x > - 5$ . Ответ $x > - 5$ , наименьшее целое $- 4$ .
$lo g_{10} (x + 9) < 1$ : $0 < x + 9 < 10$ , то есть $- 9 < x < 1$ . Число $0$ входит.

Без ОДЗ во втором примере получилось бы $x < 1$ — и ответ включал бы $x = - 20$ , где логарифм не существует.

Метод интервалов

Перенести всё в одну часть, справа $0$ ; разложить на множители, дробь привести к общему знаменателю.
Отметить на прямой нули числителя и знаменателя.
Определить знак на каждом промежутке (подставить удобное число) — знаки чередуются, если множитель в первой степени.
Выбрать промежутки с нужным знаком.

(x + 4) (x + 2) < 0

при

- 4 < x < - 2

; наименьшее целое решение

- 3

$(x - 1) (x - 7) > 0$ : нули $1$ и $7$ ; знаки $+, -, +$ . Ответ: $x < 1$ или $x > 7$ . Наименьшее целое решение, большее $7$ , — $8$ .

Точки, где знаменатель равен нулю, всегда выколоты, даже если неравенство нестрогое. Умножать обе части на выражение неизвестного знака нельзя — так теряют и приобретают лишние решения.

При чётной степени множителя ( $(x - 3)^{2}$ ) знак при переходе через его нуль не меняется.

Примеры заданий 16 ЕГЭ по математике (профиль)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите неравенство 3^{2x + 6} > 3¹. Найдите наименьшее целое решение неравенства. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: -2
Решение. 2x + 6 > 1, то есть x > −2,5. Ответ: −2.

Решите неравенство 5^{3x + 4} < 5³. Сколько целых решений неравенства лежит на отрезке [−5; 3]? В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 3x + 4 < 3, то есть x < −0,333333. Ответ: 5.

Решите неравенство (12)^{3x + 6} > (12)². Является ли число −2 решением неравенства? Введите 1, если да, и 0, если нет. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. 3x + 6 < 2, то есть x < −1,33333. Ответ: 1.

Решите неравенство (12)^{2x + 6} < (12)². Найдите границу множества решений — число, к которому примыкает ответ. Ответ округлите до сотых. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: -2
Решение. 2x + 6 > 2, то есть x > −2. Ответ: −2.

Решите неравенство 5^{2x + 6} ≥ 5³. Найдите наименьшее целое решение неравенства. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: -1
Решение. 2x + 6 ≥ 3, то есть x ≥ −1,5. Ответ: −1.

Решите неравенство 2^{4x + 4} ≤ 2³. Сколько целых решений неравенства лежит на отрезке [−5; 3]? В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 4x + 4 ≤ 3, то есть x ≤ −0,25. Ответ: 5.

Решите неравенство log₂(x + 9) > 2. Найдите наименьшее целое решение неравенства. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: -4
Решение. x + 9 > 4; с учётом ОДЗ x > −5. Ответ: −4.

Решите неравенство (x − 1)(x − 7) > 0. Найдите наименьшее целое решение, большее 7. В поле ответа введите это число.

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Решение: x < 1 или x > 7. Ответ: 8.