Часть 1 — краткий ответ (задания 1–13) · ЕГЭ профиль

Задание 5. Вероятность сложных событий

Сложение и умножение вероятностей, формула полной вероятности. 1 балл · повышенный уровень · 7 минут. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Задание 5. Вероятность сложных событий»

В теме 3 подтемы: Умножение и сложение вероятностей, Формула полной вероятности, Выбор без возвращения.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Чтобы доехать до школы, нужно успеть на автобус и не застрять в пробке — шансы перемножаются и становятся меньше. Чтобы получить подарок, достаточно выиграть в одной лотерее или в другой — шансы складываются.

Умение разбить сложное событие на простые, связанные словами «и», «или», «не», и применить правила сложения и умножения. 1 балл, ответ — десятичная дробь.

Сложение и умножение

«И» — умножение

P (A \cdot B) = P (A) \cdot P (B)

— для независимых событий (одно не влияет на другое).

«ИЛИ» — сложение

P (A + B) = P (A) + P (B)

— для несовместных событий (не могут произойти вместе).

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

сложение в общем случае, если события могут произойти вместе

Здесь $A \cup B$ — «произошло $A$ или $B$ (хотя бы одно)», $A \cap B$ — «произошли оба».

Вероятность, что ученику попадётся вопрос по планиметрии, — $0, 2$ , по стереометрии — $0, 15$ . Вопросов на обе темы сразу нет. Найдите вероятность, что попадётся вопрос по одной из этих тем.

События несовместны — складываем.
$0, 2 + 0, 15 = 0, 35$ .

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ . Найдите вероятность, что первые 2 раза он попал, а третий — промахнулся.

Выстрелы независимы — перемножаем.
$0, 8 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 128$ .

Приём «хотя бы один»

P (хотя бы один) = 1 - P (ни одного)

самый частый приём задания 5

Если опыт повторяется $n$ раз и успех в каждом наступает с вероятностью $p$ независимо от других, то:

«ни одного успеха»: $(1 - p)^{n}$ ;
«успех все $n$ раз» (или « $k$ раз подряд в начале»): $p^{n}$ (соответственно $p^{k}$ ).

В зале два независимых автомата с кофе. Каждый к вечеру пустеет с вероятностью $0, 3$ . Найдите вероятность, что к вечеру кофе останется хотя бы в одном.

«Ни в одном» — оба пусты: $0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 09$ .
$1 - 0, 09 = 0, 91$ .

Дерево и формула полной вероятности

Когда событие может случиться «разными путями», рисуют дерево: подписывают вероятности на ветвях, перемножают вдоль ветви и складывают нужные ветви.

P (брак) = 0, 4 \cdot 0, 02 + 0, 6 \cdot 0, 01 = 0, 014

P (A) = P (H_{1}) \cdot P (A ∣ H_{1}) + P (H_{2}) \cdot P (A ∣ H_{2})

формула полной вероятности

$H_{1}, H_{2}$ — гипотезы (пути): они не пересекаются и покрывают все случаи, $P (H_{1}) + P (H_{2}) = 1$ . $P (A ∣ H_{1})$ — вероятность $A$ при условии, что верна $H_{1}$ .

Фабрика $A$ делает 40% стёкол, у неё 2% брака; фабрика $B$ — 60% стёкол и 1% брака. Найдите вероятность, что купленное стекло бракованное.

Ветвь « $A$ и брак»: $0, 4 \cdot 0, 02 = 0, 008$ .
Ветвь « $B$ и брак»: $0, 6 \cdot 0, 01 = 0, 006$ .
Складываем: $0, 014$ .

Частые ошибки

Складывать вероятности совместных событий без вычитания $P (A \cap B)$ : если сумма вышла больше $1$ , события точно пересекаются.

Перемножать вероятности зависимых событий как независимых. Пример: из 10 шаров (3 красных) берут 2 без возвращения — вероятность «оба красные» $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9}$ , а не $(\frac{3}{10})^{2}$ .

«И» — умножаем (шанс сужается), «ИЛИ» — складываем (шанс растёт), «НЕ» — вычитаем из единицы.

Посмотреть на модели

Интерактивные модели Лаборатории к этому номеру: опыт повторяется сотни раз, и видно, как частота приходит к вероятности.

События и множества: круги Эйлерадвигайте круги событий A и B — и бросайте случайную точку, пока частота не сойдётся с формулой Дерево вероятностейпустите шарик по дереву — на каждой развилке он выбирает ветку с её вероятностью Условная вероятность: таблица 2×2выберите строку таблицы — и вытаскивайте людей только из неё Урна с шарами: с возвращением и безтяните шары по два — и увидите, почему второй шар «помнит» первый Независимые события и «хотя бы один»включите три ненадёжные лампы разом и посчитайте, как часто горит хотя бы одна Три двери: менять или не менятьсыграйте тысячу раз двумя стратегиями — и увидите, почему менять дверь выгодно Испытания Бернулли и биномиальное распределениебросьте десять монет разом сто раз — и посмотрите, какой горб получается Треугольник Паскаля и число путейпустите шарик по решётке и посчитайте, сколькими путями он мог прийти в каждую ячейку Парадокс дней рождениязапускайте людей в комнату по одному и ловите первое совпадение дней рождения

Посмотреть и посчитать

Модели

Дерево вероятностей Независимые события и «хотя бы один»Условная вероятность: таблица 2×2

Серия: 0