ЕГЭ · Профильная математика · Задание 9 · На основе ФИПИ

Задание 9. Задачи с прикладным содержанием

150 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 9. Задачи с прикладным содержанием»

В теме 9 подтем: Логарифмическая модель (колокол, конденсатор, радиатор), Радиоактивный распад, Формула с корнем: разгон, горизонт, Степень и корень n-й степени: адиабата, звезда, сила Архимеда, Угол из тригонометрической формулы, Колебания: энергия груза, доля времени, Квадратичная модель: момент отключения, время на высоте, колодец, Квадратное уравнение по времени: бак, торможение, разгон, лебёдка и ещё 1.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

В условии дана готовая формула из физики или техники и все числа, кроме одного. Нужно подставить известное, выразить неизвестное и решить получившееся уравнение или неравенство. Физику знать не нужно — всё нужное написано в условии.

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь (в бланк: $0, 18$ → 0,18) в тех единицах, что указаны в вопросе. Задание части 1, 1 балл.

Дробные формулызакон Ома, параллельное соединение, линза, ЭДС, эффект Доплера

Квадратичныебросок мяча, торможение, разгон, нагреватель, вытекание воды, лебёдка

Корни и степенигоризонт

l = 2 R h

, разгон

v = 2 l a

, адиабата

p V^{k}

, закон

P = σ S T^{4}

Показательные и логарифмыраспад

m_{0} \cdot 2^{- t / T}

, водолазный колокол, конденсатор

Тригонометрияэнергия соударения

Q = m v^{2} sin^{2} α

Алгоритм и неравенства

Выписать формулу, отметить, какая буква неизвестна, какие числа к каким буквам относятся.
Привести единицы к тем, что требует формула (минуты ↔ часы, кВ ↔ В).
Подставить числа и решить уравнение; если в вопросе «не менее», «не больше», «наименьшее», «наибольшее» — решить неравенство.
Отобрать корень по смыслу (время, длина, сопротивление положительны) и записать в единицах вопроса.

Духовка $R_{1} = 30$ Ом, параллельно подключают прибор $R_{2}$ . Общее сопротивление $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ должно быть не меньше $12$ Ом. Наименьшее $R_{2}$ ?

$\frac{30 R _{2}}{30 + R _{2}} \geq 12$ ; знаменатель положителен, умножаем: $30 R_{2} \geq 360 + 12 R_{2}$ .
$18 R_{2} \geq 360$ , $R_{2} \geq 20$ . Ответ: $20$ .

Общее сопротивление растёт вместе с

R_{2}

; условие

R \geq 12

выполнено при

R_{2} \geq 20

Ответ на «наименьшее/наибольшее» — почти всегда граница промежутка. Поэтому можно решить равенство $\frac{30 R _{2}}{30 + R _{2}} = 12$ и по графику (или подстановкой) убедиться, что граница — нужная.

Дробные формулы

Неизвестное стоит в знаменателе — уравнение приводят к виду «дробь = дробь» и умножают крест-накрест.

$U = \frac{εR}{R + r}$ , где $ε = 150$ В — ЭДС источника, $r = 2$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление нагрузки. При каком $R$ напряжение $U = 140$ В?

$\frac{150 R}{R + 2} = 140 \Rightarrow 150 R = 140 R + 280$ .
$10 R = 280$ , $R = 28$ . Ответ: $28$ .

$\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ : $f = 24$ см — фокусное расстояние, $d_{1}$ — от линзы до лампочки ( $25$ – $40$ см), $d_{2}$ — от линзы до экрана ( $100$ – $120$ см). Наименьшее $d_{1}$ ?

$\frac{1}{d _{1}} = \frac{1}{24} - \frac{1}{d _{2}}$ : чем больше $d_{2}$ , тем больше $\frac{1}{d _{1}}$ и тем меньше $d_{1}$ .
Берём $d_{2} = 120$ : $\frac{1}{d _{1}} = \frac{5 - 1}{120} = \frac{1}{30}$ , $d_{1} = 30$ — входит в $[25; 40]$ . Ответ: $30$ .

$f = \frac{f _{0}}{1 - \frac{v}{c}}$ , $f_{0} = 190$ Гц — частота гудка стоящего тепловоза, $c = 300$ м/с — скорость звука, $v$ — скорость тепловоза. Сигналы различимы, если $f - f_{0} \geq 10$ Гц. Наименьшая $v$ ?

$\frac{190}{1 - \frac{v}{300}} \geq 200 \Rightarrow 1 - \frac{v}{300} \leq 0, 95$ .
$\frac{v}{300} \geq 0, 05$ , $v \geq 15$ . Ответ: $15$ .

Подробнее: батискаф и закон Ома

Батискаф: $v = c \cdot \frac{f - f _{0}}{f + f _{0}}$ , $c = 1500$ м/с, $f_{0} = 249$ МГц, $v = 6$ м/с. Тогда $\frac{f - 249}{f + 249} = \frac{6}{1500} = \frac{1}{250}$ , $250 f - 62250 = f + 249$ , $249 f = 62499$ , $f = 251$ МГц.

Закон Ома: $I = \frac{U}{R}$ ; сеть $U = 220$ В выдерживает ток не больше $4$ А: $\frac{220}{R} \leq 4 \Rightarrow R \geq 55$ Ом. Наименьшее сопротивление прибора — $55$ .

Квадратичные: бросок и торможение

Высота тела, брошенного вверх: $h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{g t ^{2}}{2}$ ( $h_{0}$ — начальная высота, $v_{0}$ — начальная скорость, $g \approx 10$ м/с²). «Сколько секунд на высоте не менее…» — это длина промежутка между корнями.

h (t) = 1 + 14 t - 5 t^{2}

: мяч выше

9

м с

t = 0, 8

до

t = 2

— это

1, 2

$h = 1 + 14 t - 5 t^{2}$ . Сколько секунд мяч находится на высоте не менее $9$ м?

$1 + 14 t - 5 t^{2} \geq 9 \Rightarrow 5 t^{2} - 14 t + 8 \leq 0$ .
$D = 196 - 160 = 36$ , $t_{1} = \frac{14 - 6}{10} = 0, 8$ , $t_{2} = \frac{14 + 6}{10} = 2$ .
Неравенство верно при $0, 8 \leq t \leq 2$ ; длительность $2 - 0, 8 = 1, 2$ . Ответ: $1, 2$ .

Ответ — не корень, а разность корней $t_{2} - t_{1}$ . Частая ошибка — записать $2$ или $0, 8$ .

Квадратичные: какой корень выбрать

Формула работает только до остановки (

t \leq 5

); корень

t = 7

— лишний

$S = v_{0} t - \frac{a t ^{2}}{2}$ , $v_{0} = 20$ м/с — начальная скорость, $a = 4$ м/с² — замедление. Через сколько секунд путь составит $42$ м?

$20 t - 2 t^{2} = 42 \Rightarrow t^{2} - 10 t + 21 = 0$ , $t = 3$ или $t = 7$ .
Машина остановится при $t = \frac{v _{0}}{a} = 5$ с; $t = 7$ не подходит. Ответ: $3$ .

$T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}$ , $T_{0} = 1400$ К, $b = 100$ К/мин, $a = - 5$ К/мин². При $T > 1715$ К прибор портится. Через какое наибольшее время его выключить?

$1400 + 100 t - 5 t^{2} = 1715 \Rightarrow t^{2} - 20 t + 63 = 0$ , $t = 7$ или $t = 9$ .
Температура впервые достигает $1715$ К при $t = 7$ — дольше работать нельзя. Ответ: $7$ .

Подробнее: разгон в часах и вытекание воды

Разгон. $S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ , $v_{0} = 60$ км/ч, $a = 24$ км/ч², $S = 33$ км, ответ в минутах. $60 t + 12 t^{2} = 33 \Rightarrow 4 t^{2} + 20 t - 11 = 0$ , $D = 400 + 176 = 576$ , $t = \frac{- 20 + 24}{8} = 0, 5$ ч $= 30$ мин. Время в формуле — в часах, а спрашивают минуты.

Бак. $H (t) = a t^{2} + b t + H_{0}$ , $H_{0} = 4$ м, $a = \frac{1}{64}$ , $b = - \frac{1}{2}$ . Вода вытекает, пока $H > 0$ : $\frac{t ^{2}}{64} - \frac{t}{2} + 4 = (\frac{t}{8} - 2)^{2} = 0$ , $t = 16$ мин. Здесь корень один — вершина параболы.

Корни и степени

Неизвестное под корнем — возводим обе части в квадрат; в степени $k$ — извлекаем корень. Степени десяти считаем отдельно.

$v = 2 l a$ , $a = 6000$ км/ч², $v = 120$ км/ч. Найти путь $l$ (км).

$12 0^{2} = 2 \cdot 6000 \cdot l$ , $14400 = 12000 l$ , $l = 1, 2$ . Ответ: $1, 2$ .

$l = 2 R h$ , $R = 6400$ км, $l = 64$ км. Высота $h$ ?

$4096 = 12800 h$ , $h = 0, 32$ км. Ответ: $0, 32$ .

$p V^{k} = 2, 43 \cdot 1 0^{7}$ , $k = \frac{5}{3}$ , $p = 1 0^{5}$ Па. Объём $V$ (м³)?

$V^{5/3} = \frac{2 , 43 \cdot 1 0 ^{7}}{1 0 ^{5}} = 243 = 3^{5}$ .
$V = (3^{5})^{3/5} = 3^{3} = 27$ . Ответ: $27$ .

$P = σ S T^{4}$ , $σ = 5, 7 \cdot 1 0^{- 8}$ , $S = 2 \cdot 1 0^{20}$ м², $P = 7, 125 \cdot 1 0^{27}$ Вт. Температура $T$ ?

$σ S = 5, 7 \cdot 2 \cdot 1 0^{12} = 1, 14 \cdot 1 0^{13}$ .
$T^{4} = \frac{7 , 125 \cdot 1 0 ^{27}}{1 , 14 \cdot 1 0 ^{13}} = 6, 25 \cdot 1 0^{14} = 625 \cdot 1 0^{12}$ .
$T = 4625 \cdot 4 1 0^{12} = 5 \cdot 1 0^{3} = 5000$ . Ответ: $5000$ .

Перед извлечением корня степени $n$ сделайте показатель десятки кратным $n$ : $6, 25 \cdot 1 0^{14} = 625 \cdot 1 0^{12}$ . Полезно помнить: $3^{5} = 243$ , $2^{10} = 1024$ , $5^{4} = 625$ .

Показательные и логарифмы

m = m_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T}}

радиоактивный распад:

m_{0}

— начальная масса,

t

— прошедшее время,

T

— период полураспада

Каждый период полураспада

T = 6

мин масса уменьшается вдвое

$m_{0} = 160$ мг, $T = 6$ мин. Через сколько минут останется $20$ мг?

$2^{- t /6} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ .
$\frac{t}{6} = 3$ , $t = 18$ . Ответ: $18$ .

$A = αν T lo g_{2} \frac{V _{1}}{V _{2}}$ : $α = 5, 8$ , $ν = 4$ моль, $T = 300$ К, $V_{1} = 72$ л, $A = 27840$ Дж. Найти $V_{2}$ .

$αν T = 5, 8 \cdot 4 \cdot 300 = 6960$ ; $lo g_{2} \frac{72}{V _{2}} = \frac{27 840}{6960} = 4$ .
$\frac{72}{V _{2}} = 2^{4} = 16$ , $V_{2} = 4, 5$ . Ответ: $4, 5$ .

$t = α RC lo g_{2} \frac{U _{0}}{U}$ : $α = 1, 4$ , $R = 4 \cdot 1 0^{6}$ Ом, $C = 5 \cdot 1 0^{- 6}$ Ф, $U_{0} = 40$ кВ, $t = 84$ с. Найти $U$ .

$RC = 20$ , $α RC = 28$ , $lo g_{2} \frac{40}{U} = 3$ .
$\frac{40}{U} = 8$ , $U = 5$ кВ. Ответ: $5$ .

В «колоколе с давлением» дробь перевёрнута: $lo g_{2} \frac{p _{2}}{p _{1}}$ — давление растёт, $p_{2} = p_{1} \cdot 2^{n}$ . Смотрите, что стоит в числителе.

Тригонометрическая формула

Два тела массой $m$ движутся со скоростью $v$ под углом $2 α$ друг к другу. При неупругом ударе выделяется $Q = m v^{2} sin^{2} α$ (Дж).

$m = 4$ кг, $v = 10$ м/с, $Q = 300$ Дж. Под каким углом $2 α$ движутся тела?

$400 sin^{2} α = 300$ , $sin^{2} α = \frac{3}{4}$ , $sin α = \frac{3}{2}$ (угол острый, синус положителен).
$α = 6 0^{\circ}$ , а спрашивают $2 α = 12 0^{\circ}$ . Ответ: $120$ .

$α$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin^{2} α$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$1$

Найдя $α$ , не забудьте удвоить: в вопросе угол $2 α$ .

Шпаргалка номера

Вид формулы	Что делать
$\frac{A}{B + x} = C$	крест-накрест: $A = C (B + x)$
«не менее», «наименьшее»	неравенство, ответ — граница
$a t^{2} + b t + c = d$	дискриминант, отбор корня по смыслу
«сколько времени выше…»	$t_{2} - t_{1}$ — разность корней
$\dots = a$	возвести в квадрат
$x^{p / q} = a$	$x = a^{q / p}$ ; число $a$ — точная степень
$2^{- t / T} = \frac{m}{m _{0}}$	дробь — степень двойки: $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$
$lo g_{2} X = n$	$X = 2^{n}$ : $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$
$sin^{2} α = k$	угол из таблицы; проверить, $α$ или $2 α$

Проверка за 10 секунд: подставьте ответ в исходную формулу. И сверьте единицы: минуты или часы, кВ или В, см или м.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0