ЕГЭ · Профильная математика · Задание 2 · На основе ФИПИ

Задание 2. Векторы

150 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 2. Векторы»

В теме 9 подтем: Скалярное произведение по координатам, Скалярное произведение по рисунку, Длина линейной комбинации по координатам, Длина линейной комбинации по рисунку, Косинус угла по координатам, Косинус угла по рисунку, Перпендикулярность и коллинеарность с параметром, Неизвестная координата по отношению длин и ещё 1.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание 2 — векторы на плоскости: даны координаты двух векторов (числами или рисунком на клетчатой бумаге) или их длины и угол. Нужно найти длину комбинации вроде $a + 4 b$ или скалярное произведение. Ответ — целое число или десятичная дробь, 1 балл.

Длина комбинации

∣ a - 4 b ∣

∣8 a + b ∣

по координатам

Скалярное произведение

a \cdot b

по координатам

Произведение комбинаций

(a + b) \cdot (7 a - b)

Через длины и угол

∣ a ∣

∣ b ∣

и угол между ними

Вектор на рисункекоординаты считывают по клеткам

Почти всегда хватает двух формул: $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ и $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ . Остальное — аккуратная арифметика со знаками.

Координаты и длина вектора

Вектор — направленный отрезок. Его координаты — сдвиг по $x$ и по $y$ от начала к концу: из координат конца вычитают координаты начала. Где вектор нарисован, не важно — важны только эти сдвиги.

A B = (5 - 1; 4 - 1) = (4; 3)

∣ A B ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5

A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) ∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

(x; y)

— координаты вектора

a

∣ a ∣

— его длина (теорема Пифагора для катетов

x

y

)

Длина не бывает отрицательной, а под корнем — квадраты: $∣ (- 6; 8) ∣ = 36 + 64 = 10$ , а не $- 6 + 8$ .

Сложение и умножение на число

Сумма — диагональ параллелограмма; координаты складываются:

(4 + 1; 1 + 3) = (5; 4)

k a + m b = = (k x_{1} + m x_{2}; k y_{1} + m y_{2})

a = (x_{1}; y_{1})

b = (x_{2}; y_{2})

k

m

— числа: координаты умножаются и складываются по отдельности

$a (11; 0)$ , $b (1; - 2)$ . Найдите длину вектора $a - 3 b$ .

$3 b = (3; - 6)$ .
$a - 3 b = (11 - 3; 0 - (- 6)) = (8; 6)$ .
$∣ a - 3 b ∣ = 64 + 36 = 10$ . Ответ: $10$

Главная ловушка — минус на минус: $0 - (- 6) = + 6$ . Запишите $- 3 b$ отдельной строкой со всеми знаками и только потом складывайте.

Приём: перпендикулярные векторы равной длины

В банке часто дают пары вида $a (1; 2)$ , $b (2; - 1)$ или $a (3; 4)$ , $b (4; - 3)$ : у них $a \cdot b = 0$ (векторы перпендикулярны) и $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .

Если $a ⊥ b$ , то по теореме Пифагора $∣ k a + m b ∣^{2} = k^{2} ∣ a ∣^{2} + m^{2} ∣ b ∣^{2}$ .

$a (1; 2)$ , $b (2; - 1)$ . Найдите $∣4 a + 2 b ∣$ .

По координатам: $4 a + 2 b = (4 + 4; 8 - 2) = (8; 6)$ , длина $64 + 36 = 10$ .
Проверка приёмом: $∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} = 5$ , $∣4 a + 2 b ∣^{2} = (16 + 4) \cdot 5 = 100$ , длина $10$ . Ответ: $10$

Два способа решения — бесплатная проверка: если ответы разошлись, ищите ошибку в знаке.

Скалярное произведение

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

произведение одноимённых координат, сложенное; результат — число, а не вектор

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ

φ

— угол между векторами

Угол между векторами — угол между ними, отложенными от одной точки

$a (7; - 3)$ , $b (4; 9)$ : $a \cdot b = 7 \cdot 4 + (- 3) \cdot 9 = 28 - 27 = 1$ .

$∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ : $a \cdot b = 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 10$ . При угле $12 0^{\circ}$ было бы $- 10$ .

$φ$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$
$cos φ$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$

$a \cdot b = 0$ $\Leftrightarrow$ векторы перпендикулярны; $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ; знак произведения показывает, острый угол ( $+$ ) или тупой ( $-$ ).

Произведение комбинаций

Если нужно $(a + b) \cdot (3 a - b)$ , проще всего сначала найти координаты каждой скобки, а потом перемножить.

$a (1; 2)$ , $b (3; - 1)$ . Найдите $(a + b) \cdot (3 a - b)$ .

$a + b = (4; 1)$ .
$3 a - b = (3 - 3; 6 + 1) = (0; 7)$ .
$(4; 1) \cdot (0; 7) = 4 \cdot 0 + 1 \cdot 7 = 7$ . Ответ: $7$

Подробнее: раскрыть скобки как в алгебре

Скалярное произведение раскрывается как обычное: $(a + b) \cdot (3 a - b) = 3∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b - ∣ b ∣^{2}$ . Здесь $∣ a ∣^{2} = 5$ , $∣ b ∣^{2} = 10$ , $a \cdot b = 3 - 2 = 1$ : $15 + 2 - 10 = 7$ — тот же ответ.

Скалярное произведение векторов — число. Не пишите ответ в виде пары координат вроде $(0; 7)$ .

Векторы на клетчатой плоскости

Рисунок даёт векторы со стрелками; координаты целые. Начало вектора может быть где угодно — считаем клетки от начала до стрелки: вправо — плюс, влево — минус, вверх — плюс, вниз — минус.

a

: 3 клетки вправо, 4 вверх

\Rightarrow (3; 4)

;

b

: 3 вправо, 4 вниз

\Rightarrow (3; - 4)

По рисунку найдите $∣ a + b ∣$ и $a \cdot b$ .

Считываем: $a (3; 4)$ , $b (3; - 4)$ .
$a + b = (6; 0)$ , длина $6$ .
$a \cdot b = 9 - 16 = - 7$ .

Не путайте координаты вектора с координатами его конца: стрелка $a$ упирается в точку $(4; 5)$ , но вектор равен $(3; 4)$ , потому что начинается в $(1; 1)$ .

Шпаргалка номера

Что найти	Формула
Координаты $A B$	$(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$
Длина вектора	$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$
Комбинация	$k a + m b = (k x_{1} + m x_{2}; k y_{1} + m y_{2})$
Скалярное, координаты	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Скалярное, угол	$∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ$
Перпендикулярность	$a \cdot b = 0$
Квадрат длины	$a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$
$a ⊥ b$	$∣ k a + m b ∣^{2} = k^{2} ∣ a ∣^{2} + m^{2} ∣ b ∣^{2}$

Порядок действий: 1) выписать координаты (с рисунка — по клеткам); 2) посчитать каждую скобку; 3) длина — корень из суммы квадратов, скалярное — сумма произведений.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0