Тема 4 · Геометрия

Теорема синусов и теорема косинусов

Решение треугольников и радиус описанной окружности. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Теорема синусов и теорема косинусов»

В теме 5 подтем: Теорема косинусов, Теорема косинусов (обратная задача), Теорема синусов, Радиус описанной окружности, Теоремы синусов и косинусов: теория.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Теорему Пифагора знают все, но она работает только в прямоугольном треугольнике. Теорема косинусов — это «Пифагор для любого треугольника», а теорема синусов связывает каждую сторону с углом напротив неё. Вместе они позволяют найти всё в треугольнике по трём известным элементам.

Обозначения: стороны $a$ , $b$ , $c$ лежат напротив углов $A$ , $B$ , $C$ соответственно ( $a = BC$ , $b = A C$ , $c = A B$ ).

Сторона

a

лежит напротив угла

A

и т. д.;

R

— радиус описанной окружности

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

квадрат стороны = сумма квадратов двух других минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними

Применяется, когда известны две стороны и угол между ними (ищем третью сторону) или три стороны (ищем угол). При $A = 9 0^{\circ}$ косинус равен нулю — получается теорема Пифагора $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Угол $A$	$cos A$	Формула
$6 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$
$9 0^{\circ}$	$0$	$a^{2} = b^{2} + c^{2}$
$12 0^{\circ}$	$- \frac{1}{2}$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$

$A B = 15$ , $A C = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найти $BC$ .

$B C^{2} = 1 5^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot cos 12 0^{\circ} = 225 + 81 + 135 = 441$ .
$BC = 441 www.reknow.ru = 21$ .

При $A B = 15$ , $A C = 8$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ : $B C^{2} = 225 + 64 = 289$ , $BC = 17$ .

У тупого угла косинус отрицательный: «минус на минус» даёт плюс, и сторона против тупого угла получается самой длинной.

Угол по трём сторонам

Выразим косинус из теоремы косинусов:

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

a

— сторона напротив искомого угла

A

$cos A > 0$ угол

A

острый

$cos A = 0$ угол

A

прямой

$cos A < 0$ угол

A

тупой

$BC = A C = A B = 20$ . Найти $cos A$ и $∠ A$ .

$cos A = \frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 20} = \frac{400}{800} = 0, 5$ .
$cos A = 0, 5$ , значит $∠ A = 6 0^{\circ}$ (так и должно быть: треугольник равносторонний).

Теорема синусов и радиус описанной окружности

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

стороны пропорциональны синусам противолежащих углов;

R

— радиус описанной окружности

Применяется, когда известны сторона и два угла или две стороны и угол напротив одной из них. Последнее равенство (расширенная теорема синусов) даёт радиус:

b = \frac{a sin B}{sin A} R = \frac{a}{2 sin A}

сторона через противолежащий угол; радиус описанной окружности

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $BC = 20$ . Найти $A C$ .

$BC$ лежит напротив $A$ , $A C$ — напротив $B$ : $\frac{A C}{s i n 12 0 ^{\circ}} = \frac{20}{s i n 3 0 ^{\circ}}$ .
$A C = \frac{20 \cdot \frac{3 www.reknow.ru}{2}}{\frac{1}{2}} = 20 3 www.reknow.ru \approx 34, 64$ .

$BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$R = \frac{7}{2 s i n 6 0 ^{\circ}} = \frac{7}{3 www.reknow.ru} \approx 4, 04$ .
Аналогично при $BC = 31$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ : $sin 12 0^{\circ} = \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ , $R = \frac{31}{3 www.reknow.ru} \approx 17, 90$ .

В прямоугольном треугольнике $R = \frac{c}{2}$ : центр описанной окружности — середина гипотенузы $c$ .

Сумма углов $18 0^{\circ}$ — третий угол всегда можно найти и подставить в теорему синусов. Выбор теоремы: есть угол между известными сторонами — косинусов; есть пара «сторона + угол напротив» — синусов.

Стороны и углы: что ещё нужно знать

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Против наибольшей стороны — наибольший угол: его и проверяют на тупость по знаку косинуса.
Тупой угол в треугольнике может быть только один: два тупых угла уже дали бы больше $18 0^{\circ}$ .
Треугольник определяется однозначно (признаки равенства), если известны: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны.
Теорема синусов верна для любого треугольника, не только для остроугольного. Две стороны и угол между ними — это задача на теорему косинусов, а не синусов.

$cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ , $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$ — эти три значения встречаются чаще всего.

Серия: 0

Сначала проверьте

Синус, косинус, тангенс угла9 кл., геометрия Теорема Пифагора8 кл., геометрия

Где это пригодится: ОГЭ и ЕГЭ — 3 заданияЗадания экзаменов 9 и 11 класса, которые опираются на этот материал — нажмите, чтобы раскрыть список

ОГЭ, задание 25Геометрия повышенной сложностиОткрыть →ОГЭ, задание 23Геометрия: вычислениеОткрыть →ЕГЭ, профиль, задание 17Планиметрическая задачаОткрыть →