Задание 23. Геометрия: вычисление

Часть 2 — развёрнутый ответ · ОГЭ по математике

Задача на нахождение длины, угла или площади. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Задание 23 — геометрическая задача на вычисление с полным решением. Очень часто в ней «спрятан» прямоугольный треугольник, и всё решается его формулами. Решение оценивается в 2 балла: каждый шаг нужно обосновать ссылкой на теорему или свойство.

C H

— высота,

CM

— медиана к гипотенузе, зелёная — вписанная окружность

Главные формулы

$a$ , $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза (сторона против прямого угла).

Что найти	Формула
Гипотенуза / катет	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , $b = c^{2} - a^{2} www.reknow.ru$
Площадь	$S = \frac{1}{2} ab$
Высота к гипотенузе	$h = \frac{ab}{c}$
Медиана к гипотенузе	$m = \frac{c}{2}$ (равна радиусу описанной окружности)
Радиус вписанной окружности	$r = \frac{a + b - c}{2}$

$h = \frac{ab}{c}$ : площадь можно посчитать двумя способами, $\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c h$ . Медиана равна $\frac{c}{2}$ , потому что середина гипотенузы — центр описанной окружности.

Разбор типов задач

Гипотенуза $20$ , катет $12$ . Найдите второй катет.

По теореме Пифагора $b = 2 0^{2} - 1 2^{2} www.reknow.ru = 400 - 144 www.reknow.ru = 256 www.reknow.ru = 16$ . Ответ: $16$ .

Катеты $6$ и $8$ , гипотенуза $10$ . Найдите высоту к гипотенузе.

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$ , значит $h = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4, 8$ . Ответ: $4, 8$ .

Стороны $12$ , $16$ , $20$ . Найдите радиус вписанной окружности.

$1 2^{2} + 1 6^{2} = 400 = 2 0^{2}$ — треугольник прямоугольный, $c = 20$ .
$r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = 4$ . Ответ: $4$ .

Гипотенуза $25$ . Медиана из вершины прямого угла?

$m = \frac{25}{2} = 12, 5$ . Ответ: $12, 5$ .

Катеты $80$ и $84$ . Площадь?

$S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 84 = 3360$ . Ответ: $3360$ .

Как оформить и не потерять балл

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов, а не катета на гипотенузу.

Если треугольник «просто дан тремя сторонами», сначала проверьте по обратной теореме Пифагора, что он прямоугольный, и напишите это в решении.

Для любого треугольника: $r = \frac{S}{p}$ , где $p$ — полупериметр. Для $6, 8, 10$ : $p = 12$ , $S = 24$ , $r = 2$ — совпадает с формулой для прямоугольного.

Примеры заданий 23 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В прямоугольный треугольник со сторонами 12, 16, 20 вписана окружность. Найдите её радиус.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. S = 96, p = 24, r = 4.

В прямоугольный треугольник со сторонами 80, 84, 116 вписана окружность. Найдите её радиус.

Показать ответ

Ответ: 24
Решение. S = 3360, p = 140, r = 24.

В прямоугольный треугольник со сторонами 9, 12, 15 вписана окружность. Найдите её радиус.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. S = 54, p = 18, r = 3.