Задание 25. Геометрия повышенной сложности

Часть 2 — развёрнутый ответ · ОГЭ по математике

Задача на сочетание свойств фигур. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Задание 25 — самая сложная геометрия ОГЭ: в одной задаче соединяются несколько свойств. Помогает привычка искать прямоугольный треугольник и подобные треугольники — через них решается большинство таких задач.

Максимум 2 балла: ход решения верный, все шаги обоснованы, ответ верный. За верный ход с вычислительной ошибкой могут дать 1 балл.

Хорда и расстояние до центра

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Радиус, половина хорды и расстояние до центра образуют прямоугольный треугольник.

O H ⊥ A B

A H = H B

;

R^{2} = d^{2} + (\frac{l}{2})^{2}

d = R^{2} - (\frac{l}{2})^{2} www.reknow.ru

расстояние от центра до хорды

$R$ — радиус, $l$ — длина хорды, $d$ — расстояние от центра до хорды.

$R = 5$ , хорда $8$ . Найдите расстояние от центра до хорды.

Половина хорды: $4$ .
$d = 25 - 16 www.reknow.ru = 3$ . Ответ: $3$ .

Трапеция

m = \frac{a + b}{2}, S = m \cdot h = \frac{a + b}{2} h

средняя линия и площадь трапеции

$a$ , $b$ — основания, $h$ — высота. Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.

Основания $6$ и $20$ , высота $6$ . Площадь?

$m = \frac{6 + 20}{2} = 13$ .
$S = 13 \cdot 6 = 78$ . Ответ: $78$ .

В трапеции полезно провести высоты из концов меньшего основания: получатся прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Диагонали трапеции отсекают два подобных треугольника с коэффициентом $\frac{a}{b}$ .

Подобие и площади

Если треугольники подобны с коэффициентом $k$ (отношение сходственных сторон), то периметры относятся как $k$ , а площади — как $k^{2}$ .

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}, k = \frac{a _{2}}{a _{1}}

отношение площадей подобных фигур

Сходственные стороны $4$ и $16$ , площадь меньшего $12$ . Площадь большего?

$k = \frac{16}{4} = 4$ .
$S_{2} = 12 \cdot 4^{2} = 12 \cdot 16 = 192$ . Ответ: $192$ .

Самая частая ошибка — умножить площадь на $k$ , а не на $k^{2}$ . Стороны выросли в $4$ раза — площадь выросла в $16$ раз.

Перед решением сделайте большой аккуратный рисунок и отметьте на нём все равные углы — подобные треугольники часто «видны» сразу.

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников

Примеры заданий 25 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Основания трапеции равны 6 и 20, высота 6. Найдите площадь трапеции.

Показать ответ

Ответ: 78
Решение. m = 13, S = 78.

Радиус окружности равен 5, длина хорды равна 8. Найдите расстояние от центра до хорды.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. d = √(5² − 4²) = 3.

Треугольники подобны, сходственные стороны равны 4 и 16. Площадь меньшего равна 12. Найдите площадь большего.

Показать ответ

Ответ: 192
Решение. k = 4, S = 12 · 16 = 192.