Задание 22. Функция и её график

Часть 2 — развёрнутый ответ · ОГЭ по математике

Построение графика и разбор его свойств. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

В задании 22 нужно построить график и по нему ответить на вопрос — обычно «при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну (две, три) общие точки». Для этого надо уметь быстро находить «опорные» точки: вершину параболы, нули, точки на прямой.

Максимум 2 балла: график построен верно и верно найдены все требуемые значения. Без графика полный балл не ставят.

Вершина и нули параболы

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

вершина параболы

y = a x^{2} + b x + c

Нули функции — значения $x$ , при которых $y = 0$ : точки пересечения графика с осью $O x$ . Это корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ .

y = x^{2} - 4 x + 3

: прямая

y = - 1

касается параболы в вершине — одна общая точка

Найдите ординату вершины параболы $y = - x^{2} - 8 x - 20$ .

$a = - 1$ , $b = - 8$ : $x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot ( - 1 )} = - 4$ .
$y_{0} = - 16 + 32 - 20 = - 4$ . Ответ: $- 4$ .

Найдите расстояние между точками пересечения графика $y = x^{2} - 5 x + 6$ с осью $O x$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , по теореме Виета $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .
Расстояние $∣3 - 2∣ = 1$ . Ответ: $1$ .

Прямая через две точки

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}, b = y_{1} - k x_{1}

коэффициенты прямой

y = k x + b

через точки

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

Прямая проходит через $(- 2; - 8)$ и $(- 1; - 10)$ . Найдите $k + b$ .

$k = \frac{- 10 - ( - 8 )}{- 1 - ( - 2 )} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .
$b = - 8 - (- 2) (- 2) = - 8 - 4 = - 12$ .
$k + b = - 14$ . Ответ: $- 14$ .

Общие точки с прямой $y = m$

Прямая $y = m$ горизонтальна. Двигайте её мысленно вверх-вниз по готовому графику и считайте пересечения. «Особые» положения — через вершину, через концы и «выколотые» точки.

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = x^{2} - 4 x + 3$ ровно одну общую точку?

Вершина $(2; - 1)$ , ветви вверх.
Выше вершины — две точки, ниже — ни одной, через вершину — одна.
Ответ: $m = - 1$ .

Если в функции есть дробь (например, $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ), сначала найдите, при каком $x$ знаменатель равен нулю: на графике эта точка выколота и даёт ещё одно «особое» значение $m$ .

Стройте по таблице из 5–7 точек симметрично относительно вершины: $x_{0} \pm 1$ , $x_{0} \pm 2$ , $x_{0} \pm 3$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Линейная функция Квадратичная функция

Примеры заданий 22 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите ординату вершины параболы (значение y в вершине).

y = -1x² − 8x − 20

Показать ответ

Ответ: -4
Решение. Вершина в точке (-4; -4), ордината -4.

Прямая проходит через точки (-2; -8) и (-1; -10). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: -14
Решение. k = -2, b = -12, сумма -14.

Найдите расстояние между точками пересечения графика с осью Ox.

y = x² − 5x + 6

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Нули 2 и 3, расстояние 1.

Прямая проходит через точки (1; 0) и (3; 6). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. k = 3, b = -3, сумма 0.

Прямая проходит через точки (-3; 0) и (-2; 2). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. k = 2, b = 6, сумма 8.

Прямая проходит через точки (-6; 2) и (-3; -7). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: -19
Решение. k = -3, b = -16, сумма -19.

Прямая проходит через точки (-1; -2) и (1; 2). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. k = 2, b = 0, сумма 2.

Прямая проходит через точки (-1; 3) и (1; 5). Найдите сумму k + b её уравнения y = kx + b.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. k = 1, b = 4, сумма 5.

Задание 22. Функция и её график

Простыми словами

Вершина и нули параболы

Прямая через две точки

Общие точки с прямой y=m

Примеры заданий 22 ОГЭ по математике

Общие точки с прямой $y = m$