Функции и графики — Алгебра, 9 класс

Линейная функция, обратная пропорциональность y = k/x, парабола y = x², корень y = √x и модуль y = |x|. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Функция — правило, по которому каждому числу $x$ (аргументу) ставится в соответствие ровно одно число $y$ (значение). Как кофейный автомат: нажали кнопку $x$ — получили один определённый напиток $y$ . График — все точки $(x; y)$ , где $y$ — значение функции в точке $x$ .

Значение функции в точке $x_{0}$ — это ордината точки графика с абсциссой $x_{0}$ : подставляем $x_{0}$ в формулу или идём по рисунку вверх/вниз от $x_{0}$ до графика.

Пять основных графиков

Узнавайте функцию по форме графика

Функция	График	Область определения
$y = k x + b$	прямая	любое число
$y = \frac{k}{x}$	гипербола (две ветви)	$x \neq = 0$
$y = x^{2}$ , $y = a x^{2}$	парабола	любое число
$y = x www.reknow.ru$	половина параболы, ветвь вправо	$x \geq 0$
$y = ∣ x ∣$	«галочка» из двух лучей	любое число
$y = x^{3}$	кубическая парабола	любое число

Как читать коэффициенты

$y = k x + b$

k > 0

— прямая возрастает,

k < 0

— убывает;

b

— точка пересечения с осью

O y

$y = \frac{k}{x}$

k > 0

— ветви в I и III четвертях,

k < 0

— во II и IV.

$y = a x^{2}$

a > 0

— ветви вверх,

a < 0

— вниз; чем больше

∣ a ∣

, тем «уже» парабола.

Определите тип по форме: прямая, гипербола, парабола…
По расположению выберите знак: гипербола во II и IV четвертях ⇒ $k < 0$ , например $y = - \frac{6}{x}$ ; парабола ветвями вниз ⇒ $y = - x^{2}$ .
Проверьте одну точку: если график проходит через $(2; - 3)$ , то для $y = \frac{k}{x}$ подходит $k = 2 \cdot (- 3) = - 6$ .

Вычисления по формуле

$y = - 3 x^{2}$ при $x = 3$ : $- 3 \cdot 9 = - 27$ (сначала квадрат, потом умножение!).
$y = 2 x^{2} - 2$ при $x = 2$ : $2 \cdot 4 - 2 = 6$ .
$y = - 2 x + 1$ при $x = 3$ : $- 6 + 1 = - 5$ .

График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (x_{0}; y_{0})$ ⇒ $k = x_{0} \cdot y_{0}$ .

$A (4; 9)$ : $k = 36$ . $A (- 9; - 6)$ : $k = (- 9) \cdot (- 6) = 54$ .

Нуль функции — значение $x$ , при котором $y = 0$ (точка пересечения с осью $O x$ ).

$- 2 x + 6 = 0$ ⇒ $x = 3$ . $- 6 x - 6 = 0$ ⇒ $x = - 1$ .

$- 3 x^{2} \neq = (- 3 x)^{2}$ : при $x = 3$ первое равно $- 27$ , второе $81$ . Минус перед $x^{2}$ остаётся.

Область определения

Область определения — все значения $x$ , при которых формула имеет смысл. По графику — это проекция графика на ось $O x$ : если линия тянется влево и вправо без конца — «любое число».

ДробьЗнаменатель

\neq = 0

: у

y = \frac{k}{x}

x \neq = 0

КореньПодкоренное

\geq 0

: у

y = x www.reknow.ru

x \geq 0

ОстальныеПрямая, парабола,

∣ x ∣

x^{3}

— любое число.

«На ноль делить нельзя, корень из минуса не извлекаем» — два главных ограничения ОГЭ.

Посмотреть и посчитать

Модели

Обратная пропорциональность Линейная функция График с модулем

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите коэффициент k функции y = kx:

y = kx, график проходит через точку A(4; 9)

Показать ответ

Ответ: 36
Решение. 9 = k4 ⇒ k = 4 · 9 = 36.

Найдите значение x, при котором значение линейной функции равно нулю:

y = −2x + 6

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. −2x + 6 = 0 ⇒ −2x = −6 ⇒ x = −6 / −2 = 3.

Вычислите значение функции при указанном значении аргумента:

y = −3x², x = 3

Показать ответ

Ответ: -27
Решение. y = −3 · (3)² + 0 = −27 + 0 = −27.