Чётность, монотонность, ограниченность функции

Определение чётности по f(−x), направление монотонности линейной функции, ограниченность через амплитуду. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Три вопроса о любой функции: симметричен ли её график (чётность), идёт ли он вверх или вниз (монотонность) и умещается ли он в горизонтальную «полосу» (ограниченность). Ответы видны по графику, а проверяются по формуле.

Чётность

Чётная

f (- x) = f (x)

для всех

x

из области определения. График симметричен относительно оси

O y

. Примеры:

x^{2}

∣ x ∣

cos x

Нечётная

f (- x) = - f (x)

. График симметричен относительно начала координат. Примеры:

x^{3}

\frac{1}{x}

sin x

Если не выполняется ни одно из равенств — функция ни чётная, ни нечётная (общего вида), например $x^{2} + x$ . Область определения должна быть симметрична относительно нуля: у $x www.reknow.ru$ чётности нет.

Слева:

f (- x) = f (x)

— точки на одной высоте. Справа:

f (- x) = - f (x)

— точки симметричны относительно

O

Определите чётность $f (x) = 5 x^{2} + 5$ .

Подставляем $- x$ : $f (- x) = 5 (- x)^{2} + 5 = 5 x^{2} + 5 = f (x)$ .
Функция чётная. Так же $8 x^{2}$ — чётная.

Многочлен только с чётными степенями $x$ (свободный член — это $x^{0}$ ) — чётная функция; только с нечётными — нечётная; смешанные степени — общего вида.

Монотонность

Функция возрастает на промежутке, если большему $x$ соответствует большее значение: $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Убывает — если наоборот: $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Для линейной функции $f (x) = k x + b$ всё решает угловой коэффициент $k$ (число при $x$ ):

$k > 0$ Возрастает на всей прямой:

f (x) = 3 x - 7

$k < 0$ Убывает:

f (x) = - 12 x + 10

f (x) = - 3 x - 1

$k = 0$ Постоянна:

f (x) = 5

Знак свободного члена $b$ на монотонность не влияет: $- 3 x - 1$ и $- 3 x + 100$ обе убывают. Смотрим только на число при $x$ .

Ограниченность

Функция ограничена, если есть числа $m$ и $M$ такие, что $m \leq f (x) \leq M$ для всех $x$ из области определения. График лежит в горизонтальной полосе.

Синус ограничен: $- 1 \leq sin x \leq 1$ . Поэтому для $f (x) = A sin x + B$ при $A > 0$ :

- A + B \leq A sin x + B \leq A + B

∣ A ∣

— амплитуда (насколько график отклоняется от средней линии

y = B

)

y = 2 sin x + 1

: средняя линия

y = 1

, амплитуда 2, значения от

- 1

до

3

Найдите наибольшее значение $f (x) = 8 sin x - 5$ .

Наибольшее значение синуса — 1 (при $x = \frac{π}{2}$ ).
$8 \cdot 1 - 5 = 3$ . Ответ: 3. Аналогично у $8 sin x + 2$ наибольшее $10$ , наименьшее $- 6$ .

Если $A < 0$ , наибольшее значение достигается при $sin x = - 1$ : у $- 4 sin x + 1$ максимум $4 + 1 = 5$ . Проще всего помнить формулу: наибольшее $= ∣ A ∣ + B$ , наименьшее $= - ∣ A ∣ + B$ .

Неограниченные функции: $k x + b$ при $k \neq = 0$ , $x^{3}$ . Ограниченная только снизу: $x^{2} \geq 0$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Функции y = xⁿ

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Определите чётность функции:

f(x) = 8x²

чётная
ни чётная, ни нечётная
нечётная

Показать ответ

Ответ: чётная
Решение. f(−x) даёт: функция чётная.

Определите характер монотонности функции на всей области определения:

f(x) = -12x + 10

убывает
возрастает
постоянна

Показать ответ

Ответ: убывает
Решение. Коэффициент при x равен -12 (<0), значит функция убывает.

Найдите наибольшее значение функции:

f(x) = 8sin(x) − 5

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. E(f) = [-13; 3], наибольшее значение — 3.