ОДЗ и область значений функции

Область определения дробей и корней, область значений линейных, квадратичных и тригонометрических функций. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Не каждое число можно подставить в формулу: на ноль делить нельзя, корень из отрицательного числа не извлекается. Область определения — это все $x$ , при которых формула имеет смысл. Область значений — все $y$ , которые функция может «выдать».

Область определения $D (f)$ Допустимые

x

(ОДЗ — область допустимых значений).

Область значений $E (f)$ Все значения

y = f (x)

, которые принимает функция.

Три главных ограничения

Выражение	Ограничение	Почему
$\frac{1}{f ( x )}$	$f (x) \neq = 0$	на ноль делить нельзя
$f (x) www.reknow.ru$	$f (x) \geq 0$	корень чётной степени — из неотрицательных чисел
$\frac{1}{f ( x ) www.reknow.ru}$	$f (x) > 0$	оба условия сразу: $\geq 0$ и $\neq = 0$

Закрашенная точка — граница входит (

\geq

), выколотая — не входит (

>

)

Разбор заданий

Какое $x$ не входит в область определения $y = \frac{1}{x - 12}$ ?

Знаменатель $x - 12 \neq = 0$ , значит $x \neq = 12$ . Ответ: $12$ .

Область определения $y = x + 10 www.reknow.ru$ .

$x + 10 \geq 0$ , $x \geq - 10$ .

Область определения $y = \frac{1}{x - 9 www.reknow.ru}$ .

Под корнем неотрицательно и в знаменателе не ноль: $x - 9 > 0$ , $x > 9$ .

Меньшее из значений $x$ , не входящих в область определения $y = \frac{1}{( x - 7 ) ( x + 9 )}$ .

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x = 7$ или $x = - 9$ .
Меньшее: $- 9$ .

Знак в скобке «переворачивается»: множитель $(x + 9)$ обращается в ноль при $x = - 9$ , а не при $x = 9$ .

Область значений

Функция	$E (f)$
$y = k x + b$ , $k \neq = 0$	все числа $(- \infty; + \infty)$
$y = x^{2} + c$	$[c; + \infty)$ — наименьшее значение в вершине
$y = a (x - m)^{2} + n$	$[n; + \infty)$ при $a > 0$ ; $(- \infty; n]$ при $a < 0$
$y = sin x$ , $y = cos x$	$[- 1; 1]$
$y = A sin x + B$	$[B - ∣ A ∣; B + ∣ A ∣]$
$y = x www.reknow.ru$	$[0; + \infty)$

Найдите $E (f)$ для $y = 3 cos x - 1$ .

$- 1 \leq cos x \leq 1$ , умножаем на 3: $- 3 \leq 3 cos x \leq 3$ .
Вычитаем 1: $- 4 \leq y \leq 2$ . $E (f) = [- 4; 2]$ .

$D$ — «по горизонтали» (какие $x$ можно брать), $E$ — «по вертикали» (на какой высоте бывает график). Сначала всегда ищем $D$ : за его пределами функции просто нет.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение x, НЕ входящее в область определения функции:

y = 1x − 12

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. x − (12) = 0 ⇒ x = 12. ОДЗ: x ≠ 12.

Укажите область определения функции:

y = √(x + 10)

x > -10
x ≥ -10
x ≠ -10
x ≤ -10

Показать ответ

Ответ: x ≥ -10
Решение. x − (-10) ≥ 0 ⇒ x ≥ -10.

Укажите область определения функции:

y = 1√(x + 5)

x > -5
x < -5
x ≠ -5
x ≥ -5

Показать ответ

Ответ: x > -5
Решение. x − (-5) > 0 ⇒ x > -5.

Найдите МЕНЬШЕЕ из двух значений x, не входящих в область определения:

y = 1 / ((x − 1)(x − 6))

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. x ≠ 1 и x ≠ 6. Меньшее значение: 1.