Показательная функция — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Свойства и график, показательные уравнения и неравенства. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Бактерия делится пополам каждый час: через $1$ час их $2$ , через $2$ — $4$ , через $x$ часов — $2^{x}$ . Когда переменная стоит в показателе степени, функция называется показательной. Она растёт (или убывает) очень быстро.

y = a^{x}, a > 0, a \neq = 1

$a$ — основание (постоянное число), $x$ — показатель (переменная).

$y = 5^{x}$ при $x = 1$ : $y = 5^{1} = 5$ .
$y = 3^{x}$ при $x = 0$ : $y = 3^{0} = 1$ — любое основание в нулевой степени даёт $1$ .
$y = 2^{x}$ при $x = - 3$ : $y = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .

График и свойства

Оба графика проходят через

(0; 1)

, лежат выше оси

O x

и приближаются к ней, не касаясь

ВсегдаОпределена при всех

x

; значения только положительные:

a^{x} > 0

; график проходит через

(0; 1)

; ось

O x

— горизонтальная асимптота.

$a > 1$ Функция возрастает:

2^{1} < 2^{3}

$0 < a < 1$ Функция убывает:

(\frac{1}{2})^{1} > (\frac{1}{2})^{3}

Показательные уравнения

Обе части приводят к одному основанию и приравнивают показатели:

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)

$5^{x} = 625$ : $625 = 5^{4}$ , значит $x = 4$ .
$5^{4 x + 1} = 25 = 5^{2}$ : $4 x + 1 = 2$ , $x = 0, 25$ .
$2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ : $x = - 3$ .

Полезно помнить степени: $2^{10} = 1024$ , $3^{5} = 243$ , $5^{4} = 625$ , $4^{3} = 64$ , $7^{3} = 343$ . Дроби и корни — тоже степени: $\frac{1}{a ^{n}} = a^{- n}$ , $a www.reknow.ru = a^{\frac{1}{2}}$ .

Уравнение $a^{x} = b$ при $b \leq 0$ корней не имеет: показательная функция только положительна. Например, $2^{x} = - 4$ — нет решений.

Показательные неравенства

При $a > 1$ знак неравенства между показателями сохраняется, при $0 < a < 1$ — меняется на противоположный. Это место, где чаще всего теряют баллы.

$3^{x} > 9 = 3^{2}$ : основание $3 > 1$ , поэтому $x > 2$ .
$(\frac{1}{2})^{x} \geq \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ : основание меньше $1$ , знак меняется: $x \leq 3$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложный процент

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите уравнение 5^{4x + 1} = 25.

Показать ответ

Ответ: 0,25
Решение. 4x + 1 = 2, откуда x = 0,25.

Найдите значение функции y = 3^x при x = 0.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Любое положительное основание в нулевой степени даёт 1.

Решите уравнение 5^x = 625.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Приравниваем показатели.

Найдите значение функции y = 5^x при x = −1. Ответ дайте десятичной дробью.

Показать ответ

Ответ: 0,2
Решение. 5⁻¹ = 15 = 0,2.

В какой точке график функции y = 5^x пересекает ось Oy? Укажите ординату.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. При x = 0 значение равно 1.

Возрастает или убывает функция y = 5^x? Введите 1, если возрастает, и 0, если убывает.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Основание 5 > 1 — функция возрастает.

Решите уравнение 5^x · 5² = 125.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. x + 2 = 3, x = 1.

Какова область значений функции y = 3^x? Укажите наименьшее значение, которого она НЕ достигает.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Показательная функция принимает только положительные значения, но нуля не достигает.