Исследование функции с помощью производной — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Монотонность, точки экстремума, чтение знака производной. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Представим, что идём по графику слева направо. Производная показывает уклон дороги: $f^{'} > 0$ — идём в гору, $f^{'} < 0$ — под гору. Вершина холма — точка максимума, дно ямы — точка минимума.

Знак

f^{'}

меняется с «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум

Монотонность

Если $f^{'} (x) > 0$ на промежутке, функция на нём возрастает; если $f^{'} (x) < 0$ — убывает. Промежутки знакопостоянства производной и есть промежутки монотонности.

Производная положительна на $(- 5; 1)$ — функция там возрастает (ответ $1$ ).
Производная отрицательна на $(- 6; - 1)$ — функция убывает (ответ $0$ ).

Не путайте график функции и график производной. Если нарисован график $f^{'}$ , то возрастание $f$ — там, где график $f^{'}$ выше оси $O x$ , а не там, где он «идёт вверх».

Точки экстремума

Точка максимума — производная меняет знак с «+» на «−»; точка минимума — с «−» на «+». Если знак не меняется, экстремума нет, даже если $f^{'} (x_{0}) = 0$ (например, $y = x^{3}$ в точке $0$ ).

Найти производную $f^{'} (x)$ .
Решить уравнение $f^{'} (x) = 0$ (и найти точки, где $f^{'}$ не существует).
Отметить точки на прямой и расставить знаки $f^{'}$ на промежутках.
Выписать ответ: промежутки монотонности, точки максимума и минимума.

Исследуйте $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
$f^{'} (x) = 0$ при $x = - 1$ и $x = 1$ .
Знаки: $+$ на $(- \infty; - 1)$ , $-$ на $(- 1; 1)$ , $+$ на $(1; + \infty)$ .
Возрастает на $(- \infty; - 1]$ и $[1; + \infty)$ , убывает на $[- 1; 1]$ ; $x = - 1$ — максимум, $x = 1$ — минимум.

«Плюс-минус — максимум»: знаки читаем слева направо, как дорогу «вверх — вниз» = вершина.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Производная

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Производная функции положительна на промежутке (−5; 1). Возрастает функция или убывает? Введите 1, если возрастает, и 0, если убывает.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Положительная производная означает возрастание.

Производная функции отрицательна на промежутке (−6; −1). Возрастает функция или убывает? Введите 1, если возрастает, и 0, если убывает.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Отрицательная производная означает убывание.

Производная меняет знак с «+» на «−» в точке 6. Что это за точка?

ничего особенного
точка перегиба
точка максимума
точка минимума

Показать ответ

Ответ: точка максимума
Решение. Рост сменяется убыванием.

Производная меняет знак с «−» на «+» в точке −6. Что это за точка?

ничего особенного
точка перегиба
точка максимума
точка минимума

Показать ответ

Ответ: точка минимума
Решение. Убывание сменяется ростом.

Найдите точку максимума функции y = −x² + 10x.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. y′ = −2x + 10 = 0 при x = 5.

Найдите наименьшее значение функции y = x² − 10x.

Показать ответ

Ответ: -25
Решение. В точке 5: 25 − 50 = −25.

Найдите точку максимума функции y = x³ − 75x.

Показать ответ

Ответ: -5
Решение. y′ = 3x² − 75 = 0 при x = ±5; в точке −5 знак меняется с «+» на «−».

Найдите точку минимума функции y = x³ − 3x.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. В точке 1 производная меняет знак с «−» на «+».