Первообразная и интеграл — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Первообразная, формула Ньютона — Лейбница, площадь криволинейной трапеции. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Известна скорость машины в каждый момент — как узнать, сколько она проехала? Нужно «отменить» производную. Функция, производная которой равна данной, называется первообразной. А площадь под графиком скорости — это и есть пройденный путь.

F^{'} (x) = f (x)

$F$ — первообразная функции $f$ . Первообразных бесконечно много: все они имеют вид $F (x) + C$ , где $C$ — любое число (производная константы равна нулю). Проверить ответ можно дифференцированием.

Как найти первообразную

$f (x)$	$k$ (число)	$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{1}{x}$	$e^{x}$	$sin x$	$cos x$
$F (x)$	$k x$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$ln ∣ x ∣$	$e^{x}$	$- cos x$	$sin x$

Первообразная суммы — сумма первообразных; числовой множитель выносится: для $f (x) = 3 x^{2} + 4$ получаем $F (x) = x^{3} + 4 x + C$ .

Найдите первообразную $f (x) = 6$ , проходящую через начало координат, и её значение при $x = 1$ .

Все первообразные: $F (x) = 6 x + C$ .
Через $(0; 0)$ : $6 \cdot 0 + C = 0$ , $C = 0$ , $F (x) = 6 x$ .
$F (1) = 6$ .

$(x^{2})$ «интегрируется» в $\frac{x ^{3}}{3}$ , а не в $x^{3}$ : показатель увеличиваем на $1$ и делим на новый показатель.

Площадь и формула Ньютона — Лейбница

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком $y = f (x) \geq 0$ , осью $O x$ и прямыми $x = a$ , $x = b$ .

S = \int_{1}^{2} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} www.reknow.ru_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

формула Ньютона — Лейбница:

F

— первообразная

f

a

— левый конец,

b

— правый

Площадь под графиком неотрицательной функции равна приращению первообразной на отрезке.

Площадь под графиком $y = 2$ на $[4; 5]$ .

Это прямоугольник: $S = 2 \cdot (5 - 4) = 2$ .
Через формулу: $F (x) = 2 x$ , $S = F (5) - F (4) = 10 - 8 = 2$ .

Порядок вычитания важен: $F (b) - F (a)$ , а не наоборот. Если функция на отрезке отрицательна, интеграл отрицателен, а площадь равна его модулю.

Проверка: у постоянной $y = k$ на отрезке длины $L$ площадь — прямоугольник $k \cdot L$ . Это удобный способ поймать ошибку в знаке.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите первообразную функции f(x) = 6, проходящую через начало координат, и вычислите её значение при x = 1.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. F(x) = 6x, F(1) = 6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = x, осью Ox и прямой x = 5.

Показать ответ

Ответ: 12,5
Решение. Треугольник: ½ · 5 · 5 = 12,5.

F(x) — первообразная f(x). Найдите площадь под графиком на [1; 3], если F(1) = 3 и F(3) = 15.

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. S = F(3) − F(1) = 12.

F(x) — первообразная f(x), F(2) = 2, площадь на [2; 3] равна 4. Найдите F(3).

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. F(3) = 2 + 4 = 6.

Найдите первообразную функции f(x) = 2x при условии F(0) = 0 и вычислите F(5).

Показать ответ

Ответ: 25
Решение. F(x) = x², F(5) = 25.

Чему равна производная первообразной функции f?

первообразной F
самой функции f
нулю
единице

Показать ответ

Ответ: самой функции f
Решение. По определению F′ = f.

Сколько первообразных имеет функция f(x) = 4?

ни одной
две
одна
бесконечно много

Показать ответ

Ответ: бесконечно много
Решение. Первообразные отличаются на постоянное слагаемое C.

Найдите площадь трапеции под графиком y = x + 2 на отрезке [0; 5].

Показать ответ

Ответ: 22,5
Решение. S = ½·5² + 2·5 = 22,5.