Наибольшее и наименьшее значения — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Экстремумы на отрезке и задачи на оптимизацию. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Идём по горной тропе от одного столба до другого. Самая высокая точка пути — это либо вершина горы по дороге, либо один из столбов в начале или в конце. Так же и у функции на отрезке: «рекорды» бывают только в точках экстремума или на концах отрезка.

y = x^{2} - 10 x

на

[2; 9]

: наименьшее

- 25

(в вершине), наибольшее

- 9

(на конце)

Алгоритм на отрезке

Найти производную $f^{'} (x)$ .
Найти критические точки ( $f^{'} (x) = 0$ или не существует) и оставить те, что лежат внутри отрезка $[a; b]$ .
Вычислить $f$ в этих точках и на концах $a$ и $b$ .
Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Наименьшее значение $y = x^{2} - 10 x$ на $[0; 10]$ .

$y^{'} = 2 x - 10 = 0$ , $x = 5 \in [0; 10]$ .
$y (0) = 0$ , $y (5) = 25 - 50 = - 25$ , $y (10) = 0$ .
Наименьшее: $- 25$ .

Наибольшее значение $y = x^{2}$ на $[0; 7]$ .

$y^{'} = 2 x = 0$ при $x = 0$ — это конец отрезка; на $(0; 7)$ $y^{'} > 0$ , функция возрастает.
Наибольшее — на правом конце: $y (7) = 49$ .

Если функция на отрезке только возрастает, наименьшее — в левом конце, наибольшее — в правом. Если только убывает — наоборот. Тогда считать критические точки не нужно.

Ответ — значение функции $y$ , а не точка $x$ . И не забывайте проверить концы отрезка: максимум может оказаться там, а не в вершине.

Задачи на оптимизацию

Составляют функцию одной переменной, находят её экстремум и проверяют, что найденная точка подходит по смыслу задачи (длина не бывает отрицательной).

Из всех прямоугольников с периметром $20$ найдите прямоугольник наибольшей площади.

Стороны $x$ и $10 - x$ , $0 < x < 10$ . Площадь $S (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$ .
$S^{'} (x) = 10 - 2 x = 0$ , $x = 5$ ; знак меняется с $+$ на $-$ — максимум.
Это квадрат $5 \times 5$ , $S = 25$ .

Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Сумма $x + \frac{a}{x}$ при $x > 0$ (и $a > 0$ ) минимальна при $x = a www.reknow.ru$ и равна $2 a www.reknow.ru$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите наименьшее значение функции y = x² − 10x на отрезке [0; 10].

Показать ответ

Ответ: -25
Решение. Вершина в точке 5 лежит внутри отрезка: y = −25.

Найдите наибольшее значение функции y = x² на отрезке [0; 7].

Показать ответ

Ответ: 49
Решение. Функция возрастает, максимум справа.

Найдите наименьшее значение функции y = x² на отрезке [−7; 7].

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Вершина x = 0 лежит внутри отрезка.

Найдите наибольшее значение функции y = −x² + 3.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Вершина в точке (0; 3), ветви вниз.

Периметр прямоугольника равен 32. Какова наибольшая возможная площадь?

Показать ответ

Ответ: 64
Решение. Сумма сторон 16; площадь максимальна у квадрата со стороной 8: 64.

Сумма двух чисел равна 32. Каково наибольшее значение их произведения?

Показать ответ

Ответ: 256
Решение. Максимум при равных числах: 16 · 16 = 256.

Найдите точку минимума функции y = x + 144x при x > 0.

Показать ответ

Ответ: 12
Решение. y′ = 1 − 144x² = 0 при x = 12.

Найдите наименьшее значение функции y = x + 81x при x > 0.

Показать ответ

Ответ: 18
Решение. В точке 9: 9 + 9 = 18.