Тригонометрические функции — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Периодичность, чётность, область значений, табличные значения и знаки. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Колесо обозрения крутится, и высота кабинки то растёт, то падает, повторяясь каждый оборот. Так ведут себя синус и косинус: их значения «качаются» между $- 1$ и $1$ и повторяются каждые $36 0^{\circ}$ .

Синусоида и косинусоида: косинус — тот же синус, сдвинутый на

9 0^{\circ}

влево

Свойства

	$y = sin x$	$y = cos x$	$y = tg x$
область определения	все $x$	все $x$	$x \neq = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n$
область значений	$[- 1; 1]$	$[- 1; 1]$	все числа
период	$36 0^{\circ} (2 π)$	$36 0^{\circ} (2 π)$	$18 0^{\circ} (π)$
чётность	нечётная	чётная	нечётная

Чётность: $cos (- x) = cos x$ , $sin (- x) = - sin x$ , $tg (- x) = - tg x$ .

$- 1 \leq sin x \leq 1$ . Умножаем на $5$ : $- 5 \leq 5 sin x \leq 5$ .
Наибольшее значение $y = 5 sin x$ равно $5$ , наименьшее — $- 5$ .
Для $y = 2 cos x + 3$ : $- 2 + 3 \leq y \leq 2 + 3$ , то есть от $1$ до $5$ .

При отрицательном множителе края меняются местами: у $y = - 3 sin x$ наибольшее $3$ (при $sin x = - 1$ ), наименьшее $- 3$ .

Табличные значения

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$27 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$1$	$0$	$- 1$
$cos α$	$1$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3 www.reknow.ru}{3}$	$1$	$3 www.reknow.ru$	—	$0$	—

Синус для $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ : $\frac{0 www.reknow.ru}{2}, \frac{1 www.reknow.ru}{2}, \frac{2 www.reknow.ru}{2}, \frac{3 www.reknow.ru}{2}, \frac{4 www.reknow.ru}{2}$ . Косинус — та же строка в обратном порядке.

Пример: $sin 18 0^{\circ} = 0$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ .

Знаки по четвертям

Четверть	I $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$	II $(9 0^{\circ}; 18 0^{\circ})$	III $(18 0^{\circ}; 27 0^{\circ})$	IV $(27 0^{\circ}; 36 0^{\circ})$
$sin$	+	+	−	−
$cos$	+	−	−	+
$tg$	+	−	+	−

В первой четверти положительны все функции, во второй — только синус, в третьей — тангенс, в четвёртой — косинус. Формулы приведения проще проверять по четверти, чем запоминать таблицей.

Период, приведение, тождество

Период функций $y = sin k x$ и $y = cos k x$ равен $\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ k ∣}$ , у $y = tg k x$ — $\frac{18 0 ^{\circ}}{∣ k ∣}$ . Множитель $k$ перед $x$ сжимает график в $k$ раз, а сдвиги и множитель перед функцией период не меняют.

$y = sin 3 x$ : $T = \frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ ; $y = 5 cos x + 5$ : $T = 36 0^{\circ}$ .
Угол больше $36 0^{\circ}$ сначала уменьшают на целое число оборотов: $38 0^{\circ} = 36 0^{\circ} + 2 0^{\circ}$ — первая четверть, $sin 38 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}$ .

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

основное тригонометрическое тождество — верно для любого угла

α

Формулы приведения для $18 0^{\circ} - α$ : $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α$ . Знак берут по четверти угла $18 0^{\circ} - α$ (вторая: синус «+», косинус «−»).

$sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) - sin 3 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ} = 0$ .
$sin^{2} 18 0^{\circ} + cos^{2} 18 0^{\circ} = 0 + 1 = 1$ — по тождеству, без таблицы.

Нули $y = sin x$ на $[0^{\circ}; 36 0^{\circ}]$ : $0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ , $36 0^{\circ}$ — три точки; у $y = cos x$ — $9 0^{\circ}$ и $27 0^{\circ}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Чему равен sin 180°?

2
−2
−1
0

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Табличное значение: sin 180° = 0.

Найдите наименьшее значение функции y = 5 sin x.

Показать ответ

Ответ: -5
Решение. Минимум синуса равен −1, значит −5.

Чему равен cos 30°?

0,5
−2
√3/2
2

Показать ответ

Ответ: √3/2
Решение. Табличное значение: cos 30° = √3/2.

Найдите наибольшее значение функции y = 5 cos x + 5.

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. Максимум косинуса 1: 5 + 5 = 10.

Найдите значение выражения sin²180° + cos²180°.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Основное тригонометрическое тождество.

Найдите период функции y = sin x в градусах.

Показать ответ

Ответ: 360
Решение. Синус повторяется через 360°.

Найдите значение выражения 2·(sin²x + cos²x).

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. В скобках единица, остаётся 2.

Найдите период функции y = tg x в градусах.

Показать ответ

Ответ: 180
Решение. Тангенс повторяется через 180°.