Степенная функция, корни и степени — Алг. и начала анализа, 11 класс

Степень с целым и дробным показателем, корень n-й степени, область определения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Степень — это короткая запись умножения одинаковых множителей: $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5$ . Правила степеней позволяют не перемножать «в лоб», а просто складывать и вычитать показатели. Корень — обратное действие: $3 343 www.reknow.ru = 7$ , потому что $7^{3} = 343$ .

Свойства степени

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, a^{m} : a^{n} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}

a

— основание,

m, n

— показатели

$a^{0} = 1$ ( $a \neq = 0$ ); $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ — отрицательный показатель «переворачивает» дробь; $a^{\frac{1}{n}} = n a www.reknow.ru$ , $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} www.reknow.ru$ ( $a > 0$ ).

$5^{3} \cdot 5^{- 2} = 5^{3 + (- 2)} = 5^{1} = 5$ .
$34 3^{\frac{1}{3}} = 3 343 www.reknow.ru = 7$ .
$1 6^{\frac{3}{4}} = (4 16 www.reknow.ru)^{3} = 2^{3} = 8$ ; $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .

$a^{m} \cdot a^{n}$ — показатели складывают, а не перемножают: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5}$ , а не $2^{6}$ . Для разных оснований правило не работает: $2^{3} \cdot 3^{2} \neq = 6^{5}$ .

Корень n-й степени

Чётная степень

a www.reknow.ru

4 a www.reknow.ru

— только для

a \geq 0

, результат

\geq 0

Нечётная степень

3 a www.reknow.ru

5 a www.reknow.ru

— для любого

a

3 - 8 www.reknow.ru = - 2

Поэтому область определения $y = x - a www.reknow.ru$ — это $x \geq a$ : подкоренное выражение неотрицательно. А $y = 3 x - a www.reknow.ru$ определена при всех $x$ .

$x^{2} www.reknow.ru = ∣ x ∣$ , а не $x$ : при отрицательных $x$ знак теряется. $(- 3)^{2} www.reknow.ru = 3$ .

Степенная функция

Все графики

y = x^{n}

(

n

натуральное) проходят через

(1; 1)

$n$ чётноеФункция чётная: график симметричен относительно оси

O y

;

y \geq 0

$n$ нечётноеФункция нечётная: график симметричен относительно начала координат; возрастает на всей прямой.

Чётность функции $y = x^{n}$ повторяет чётность показателя: $(- x)^{2} = x^{2}$ , а $(- x)^{3} = - x^{3}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Функции y = xⁿ

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Вычислите: 343 в степени 13.

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. Это корень 3-й степени: 7³ = 343, значит ответ 7.

Вычислите значение выражения 5³ · 5⁻².

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Показатели складываются: 3 − 2 = 1.

Вычислите: (16)^0,5.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Показатель 0,5 — это квадратный корень: √16 = 4.

Найдите значение выражения 8³ : 8².

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. При делении показатели вычитаются: 3 − 2 = 1.

Чему равно 216 в степени 13?

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. ∛216 = 6.

Вычислите: 10⁻¹ · 100.

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. −1 + 2 = 1, получаем 10.

Найдите значение функции y = √(x − 6) при x = 22.

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. √(22 − 6) = √16 = 4.

Какова область значений функции y = x²? Укажите наименьшее возможное значение y.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Квадрат неотрицателен, наименьшее значение 0 достигается при x = 0.