Логарифмическая функция — Алгебра и начала анализа, 11 класс

Свойства и график, логарифмические уравнения и неравенства. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число?». В какую степень возвести $10$ , чтобы вышло $10000$ ? В четвёртую. Значит, $lo g_{10} 10000 = 4$ .

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b, a > 0, a \neq = 1, b > 0

$a$ — основание, $b$ — число под логарифмом (аргумент), $c$ — показатель степени. $l g b = lo g_{10} b$ — десятичный логарифм, $ln b = lo g_{e} b$ — натуральный.

$lo g_{10} 10000 = 4$ , так как $1 0^{4} = 10000$ .
$lo g_{2} 1 = 0$ , так как $2^{0} = 1$ (логарифм единицы по любому основанию равен $0$ ).
$lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ , так как $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ ; $lo g_{5} 5 = 1$ .

График и свойства

Оба графика проходят через

(1; 0)

и не пересекают ось

O y

ОбщееОбласть определения

x > 0

; значения — все числа;

lo g_{a} 1 = 0

lo g_{a} a = 1

$a > 1$ Функция возрастает: больше

x

— больше логарифм.

$0 < a < 1$ Функция убывает: больше

x

— меньше логарифм.

Правила действий

Формула	Смысл
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	логарифм произведения
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	логарифм частного
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$	степень выносится множителем
$a^{l o g_{a} b} = b$	основное логарифмическое тождество
$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$	переход к новому основанию

Здесь $x > 0$ , $y > 0$ . Пример: $l g 25 + l g 4 = l g 100 = 2$ ; $3^{l o g_{3} 7} = 7$ .

Уравнения и неравенства

Область определения: выражение под логарифмом строго больше нуля.
Убрать логарифм по определению: $lo g_{a} f (x) = c ⟺ f (x) = a^{c}$ .
Проверить корни, посторонние отбросить.

$l g (x + 4) = 1$ : $x + 4 = 1 0^{1}$ , $x = 6$ . Проверка: $6 + 4 = 10 > 0$ ✓.
$lo g_{3} (x - 9) = 2$ : $x - 9 = 3^{2} = 9$ , $x = 18$ .

$lo g_{2} (x - 1) < 3$ .

ОДЗ: $x - 1 > 0$ , $x > 1$ .
Основание $2 > 1$ — знак сохраняется: $x - 1 < 2^{3} = 8$ , $x < 9$ .
Ответ: $(1; 9)$ .

При основании от $0$ до $1$ знак неравенства меняется: $lo g_{1/2} x > 1 ⟺ 0 < x < \frac{1}{2}$ . И не забывайте ОДЗ — без неё в ответ попадут лишние числа.

«Логарифм — это показатель». Видите $lo g_{a} b$ — спрашивайте себя: « $a$ в какой степени даёт $b$ ?»

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите уравнение log₁₀(x + 4) = 1.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. x + 4 = 10, x = 6.

Найдите значение выражения log₂ 1.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Логарифм единицы равен нулю при любом основании.

Решите уравнение log₃(x − 9) = 2.

Показать ответ

Ответ: 18
Решение. x − 9 = 9, x = 18.

Решите уравнение log₃ x = 2.

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. x = 3² = 9.

Какова область определения функции y = log₁₀ x? Укажите наименьшее целое значение x из области определения.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Логарифм определён при x > 0; наименьшее целое — 1.

Решите уравнение log₅(8x) = 2.

Показать ответ

Ответ: 3,125
Решение. 8x = 25, x = 3,125.

В какой точке график функции y = log₃ x пересекает ось Ox? Укажите абсциссу.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. log_a 1 = 0 при любом основании.

Решите уравнение log₅(x + 7) = log₅ 125.

Показать ответ

Ответ: 118
Решение. Основания совпадают: x + 7 = 125.