Интерактивные тренажёры

Логарифмические уравнения и неравенства 10 класс

Свойства логарифмов, ОДЗ и посторонние корни, замена переменной, неравенства, оценки. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Вычислите:

2^{3log₂ 14}

Показать ответ

Ответ: 2744
Решение. 1) 3·log₂ 14 = log₂ 14³.
2) 2^{log₂ 2744} = 2744.

Решите уравнение:

log₇(x² − x − 75) = log₇(−3x − 12)

Показать ответ

Ответ: -9
Решение. 1) Логарифмы с одним основанием равны ⇔ равны аргументы, и они положительны.
2) x² − x − 75 = −3x − 12 ⇒ x² + 2x − 63 = 0, корни 7 и −9.
3) x = 7: −3x − 12 = −33 ≤ 0 — посторонний; x = −9: −3x − 12 = 15 > 0 — подходит.
4) Ответ: −9.

Найдите сумму корней уравнения.

log²₂ x − log₂ x − 2 = 0

Показать ответ

Ответ: 4,5
Решение. 1) Замена t = log₂ x: t² − t − 2 = 0 ⇒ t = −1, t = 2.
2) x = 2^t: 12 и 4.
3) Сумма: 4,5.

Найдите количество целых решений неравенства:

log₂(8 − x) ≥ log₂(x + 7)

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 1) ОДЗ: 8 − x > 0 и x + 7 > 0, т. е. −7 < x < 8.
2) Основание 2 > 1 — знак сохраняется: 8 − x ≥ x + 7 ⇒ x ≤ 12 = 0,5.
3) С учётом ОДЗ: целые решения от −6 до 0, всего 7.

Какое из чисел наибольшее?

log₂ 391, log₅ 865, log₃ 515, log₂ 1293

log₅ 865
log₂ 391
log₃ 515
log₂ 1293

Показать ответ

Ответ: log₂ 1293
Решение. 1) Оценим каждое число целыми: 2⁸ ≤ 391 < 2⁹ ⇒ 8 ≤ log₂ 391 < 9; 5⁴ ≤ 865 < 5⁵ ⇒ 4 ≤ log₅ 865 < 5; 3⁵ ≤ 515 < 3⁶ ⇒ 5 ≤ log₃ 515 < 6; 2¹⁰ ≤ 1293 < 2¹¹ ⇒ 10 ≤ log₂ 1293 < 11.
2) Целые части различны, поэтому наибольшее — log₂ 1293.