Тема 06 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Логарифмические неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число». $lo g_{2} 8 = 3$ , потому что $2^{3} = 8$ . Уравнения с логарифмами решают, сводя их к равенству аргументов, но всегда помнят, что логарифм есть только у положительного числа.

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b, a > 0, a \neq = 1, b > 0

a

— основание,

b

— аргумент (число под логарифмом),

c

— показатель степени

Свойства и вычисления

Свойство	Пример
$a^{l o g_{a} b} = b$	$2^{3 l o g_{2} 14} = (2^{l o g_{2} 14})^{3} = 1 4^{3} = 2744$
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	$lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	$lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 27 = 3$
$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$	$lo g_{2} 8^{5} = 5 \cdot 3 = 15$
$lo g_{a^{p}} b^{q} = \frac{q}{p} lo g_{a} b$	$lo g_{25} \frac{1}{625} = lo g_{5^{2}} 5^{- 4} = - 2$
$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a} = \frac{1}{l o g _{b} a}$	$lo g_{8} 32 = \frac{l o g _{2} 32}{l o g _{2} 8} = \frac{5}{3}$

Вычислите $lo g_{16} \frac{1}{16} + lo g_{25} \frac{1}{625}$ .

$lo g_{16} 1 6^{- 1} = - 1$ ; $\frac{1}{625} = 2 5^{- 2}$ , значит $lo g_{25} 2 5^{- 2} = - 2$ .
Сумма $- 3$ .

$lo g_{a} (x + y) \neq = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ . Сумма логарифмов — это логарифм произведения, а не суммы.

Уравнения и ОДЗ

lo g_{a} f = lo g_{a} g ⟺ {f = g g > 0

достаточно проверить положительность одного аргумента — второй ему равен

ОДЗ выписывают до преобразований: $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1)$ требует $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$ по отдельности, а после склейки в $lo g_{2} (x^{2} - 1)$ это условие «размывается» и появляются посторонние корни. Переменная в основании: $x > 0$ , $x \neq = 1$ .

$lo g_{7} (x^{2} - x - 75) = lo g_{7} (- 3 x - 12)$

$x^{2} - x - 75 = - 3 x - 12$ , $x^{2} + 2 x - 63 = 0$ , $x = 7$ или $x = - 9$ .
Проверка $- 3 x - 12 > 0$ : при $x = 7$ получаем $- 33$ ✗; при $x = - 9$ получаем $15$ ✓
Ответ: $- 9$ .

$lo g_{3} (x + 59) - lo g_{3} (x + 3) = 2$

ОДЗ: $x > - 3$ . Разность логарифмов — логарифм частного: $lo g_{3} \frac{x + 59}{x + 3} = 2$ .
$\frac{x + 59}{x + 3} = 9$ , $x + 59 = 9 x + 27$ , $x = 4$ — входит в ОДЗ.

Замена переменной

Если логарифм встречается в разных степенях, вводят $t = lo g_{a} x$ ( $t$ — любое число).

$lo g_{2}^{2} x - lo g_{2} x - 2 = 0$ . Найдите сумму корней.

$t^{2} - t - 2 = 0$ , $t = 2$ или $t = - 1$ .
$x = 2^{2} = 4$ или $x = 2^{- 1} = 0, 5$ . Сумма $4, 5$ .

Если $t_{1}, t_{2}$ — корни уравнения на $t = lo g_{a} x$ , то $x_{1} x_{2} = a^{t_{1}} \cdot a^{t_{2}} = a^{t_{1} + t_{2}}$ — сумма корней по Виету «уходит» в показатель. Для $lo g_{3}^{2} x - 9 = 0$ : $t_{1} + t_{2} = 0$ , произведение корней $3^{0} = 1$ .

$lo g_{a}^{2} x = (lo g_{a} x)^{2}$ — это квадрат логарифма, а не $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ .

Неравенства

При

a > 1

логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется; при

0 < a < 1

убывает — знак меняется

a > 1 : lo g_{a} f < lo g_{a} g ⟺ 0 < f < g

основание больше 1 — знак тот же

0 < a < 1 : lo g_{a} f < lo g_{a} g ⟺ f > g > 0

основание меньше 1 — знак меняется

Сколько целых решений у $lo g_{2} (8 - x) \geq lo g_{2} (x + 7)$ ?

Основание $2 > 1$ : $8 - x \geq x + 7 > 0$ .
$x \leq 0, 5$ и $x > - 7$ . Целые: $- 6, - 5, \dots, 0$ — 7 чисел.

$lo g_{2} (14 - x) \leq lo g_{2} (x - 2)$

$0 < 14 - x \leq x - 2$ : $x < 14$ и $x \geq 8$ .
Целые $8, \dots, 13$ — 6 чисел.

Условие положительности ставят на меньший аргумент: из $0 < f < g$ уже следует $g > 0$ . Забыть его — частая причина неверного количества решений.

Оценка и сравнение логарифмов

Любое число $k = lo g_{a} a^{k}$ . Целая часть $lo g_{a} N$ — такое целое $k$ , что $a^{k} \leq N < a^{k + 1}$ (при $a > 1$ ).

Найдите целую часть $lo g_{2} 2030$ .

$2^{10} = 1024 \leq 2030 < 2048 = 2^{11}$ .
Значит, $10 \leq lo g_{2} 2030 < 11$ , целая часть $10$ .

Какое наибольшее: $lo g_{2} 391$ , $lo g_{5} 865$ , $lo g_{3} 515$ , $lo g_{2} 1293$ ?

Зажимаем каждое между целыми: $2^{8} < 391 < 2^{9}$ — между 8 и 9; $5^{4} < 865 < 5^{5}$ — между 4 и 5; $3^{5} < 515 < 3^{6}$ — между 5 и 6; $2^{10} < 1293 < 2^{11}$ — между 10 и 11.
Наибольшее — $lo g_{2} 1293$ .

Держите в голове степени двойки до $2^{11} = 2048$ , тройки до $3^{7} = 2187$ и пятёрки до $5^{5} = 3125$ — почти все оценки делаются по ним.

Сколько целых чисел между $lo g_{3} 109$ и $lo g_{5} 24095$ ?

$3^{4} = 81 < 109 < 243 = 3^{5}$ : $4 < lo g_{3} 109 < 5$ .
$5^{6} = 15625 < 24095 < 78125 = 5^{7}$ : $6 < lo g_{5} 24095 < 7$ .
Между ними целые $5$ и $6$ — два числа.

Ещё типы заданий

$l g x = lo g_{10} x$ — десятичный логарифм, $ln x = lo g_{e} x$ — натуральный ( $e \approx 2, 718$ ). Например, $l g 1000 = 3$ , а целая часть $l g 2031$ равна $3$ , так как $1 0^{3} \leq 2031 < 1 0^{4}$ .

$lo g_{a} b = 2, 5$ . Найдите $lo g_{b} a^{4}$ и $lo g_{a} (a^{- 1} b^{3})$ .

$lo g_{b} a^{4} = 4 lo g_{b} a = \frac{4}{l o g _{a} b} = \frac{4}{2 , 5} = 1, 6$ .
$lo g_{a} (a^{- 1} b^{3}) = - 1 + 3 lo g_{a} b = - 1 + 7, 5 = 6, 5$ .

$lo g_{3} x + lo g_{9} x = 3$ .

$lo g_{9} x = lo g_{3^{2}} x = \frac{1}{2} lo g_{3} x$ .
$\frac{3}{2} lo g_{3} x = 3$ , $lo g_{3} x = 2$ , $x = 9$ .

$lo g_{x} (17 x - 72) = 2$ . Найдите сумму корней.

ОДЗ: $x > 0$ , $x \neq = 1$ , $17 x - 72 > 0$ .
По определению $x^{2} = 17 x - 72$ , $x^{2} - 17 x + 72 = 0$ , $x = 8$ или $x = 9$ .
Оба корня в ОДЗ ( $17 \cdot 8 - 72 = 64 > 0$ ). Сумма $17$ .

Наименьшее целое решение $lo g_{0, 5} (x - 4) < - 2$ .

$- 2 = lo g_{0, 5} 0, 5^{- 2} = lo g_{0, 5} 4$ .
Основание $0, 5 < 1$ — знак меняется: $x - 4 > 4$ , $x > 8$ .
Наименьшее целое — $9$ .

Серия: 0