Шпаргалка · Алгебра · 10 класс

Все формулы по алгебре за 10 класс — шпаргалка

Все формулы на одном листе — теория, свойства, примеры

Скачать PDF

√Степени и корни

Корень n-й степени из a — число, n-я степень которого равна a. При a > 0 верно a^m/n = ⁿ√(a^m).

a^m · aⁿ = a^m+n, a^m : aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^mn, a⁻ⁿ = 1aⁿ

a⁰ = 1, a^1/n = ⁿ√a (a > 0)

a^x = a^b ⇔ x = b (a > 0, a ≠ 1)

В неравенстве a^x > a^b знак сохраняется при a > 1 и меняется на противоположный при 0 < a < 1.

Потренироваться → Степень с рациональным показателем и корень n-й степени Показательные уравнения и неравенства

∿Тригонометрия

sin²α + cos²α = 1

tg α = sin αcos α

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α

cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2πn

sin x = a ⇒ x = (−1)ⁿ arcsin a + πn

cos α и sin α — координаты точки

Корни есть только при |a| ≤ 1. Значения: sin 30° = cos 60° = 0,5; sin 45° = cos 45° ≈ 0,71; sin 60° = cos 30° ≈ 0,87.

Потренироваться → Тригонометрические тождества и формулы приведения Простейшие тригонометрические уравнения Тригонометрические функции числового аргумента

★Логарифмы: определение и четыре свойства

Основание a > 0, a ≠ 1; под знаком логарифма — только положительные числа

log_ab = c
⇔ a^c = b

определение

log_axy =
log_ax + log_ay

логарифм произведения

log_axy =
log_ax − log_ay

логарифм частного

log_ax^p =
p · log_ax

логарифм степени

log_ab =
log_cblog_ca

переход к новому основанию

Потренироваться → Логарифмы: свойства и простейшие уравнения

ƒОДЗ, функции и прогрессии

ОДЗ: знаменатель ≠ 0; выражение под √ ≥ 0; аргумент log > 0

a_n = a₁ + (n − 1)d, S_n = a₁ + a_n2 · n

b_n = b₁ · qⁿ⁻¹

вершина параболы

Функция чётная, если f(−x) = f(x): график симметричен относительно оси Oy. Нечётная, если f(−x) = −f(x): симметрия относительно начала координат.

Потренироваться → ОДЗ и область значений функции Чётность, монотонность, ограниченность функции Арифметическая прогрессия

СОВЕТ

Перед решением логарифмического уравнения выпишите ОДЗ: аргумент больше нуля. Часть корней отсеется сразу.

ЛАЙФХАК

Показательное уравнение сводится к равенству показателей только после приведения обеих частей к одному основанию.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

log_a(x + y) — это не сумма логарифмов. Складываются логарифмы произведения: log_a(xy).

ПРАКТИКА

1000 заданий по этим темам с теорией и подсказками — reknow.ru/10/algebra

Тренажёры по теме

Логарифмы: свойства и простейшие уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Тригонометрические тождества и формулы приведения Тригонометрические функции числового аргумента Степень с рациональным показателем и корень n-й степени Показательные уравнения и неравенства ОДЗ и область значений функции Чётность, монотонность, ограниченность функции Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Все темы: Алгебра, 10 класс

Как пользоваться шпаргалкой

В 10 классе в алгебре появляются корни n-й степени, логарифмы и тригонометрия числового аргумента, и на этом листе — всё, с чем придётся работать весь год. Раздел о степенях и корнях связывает a^m/n с корнем n-й степени, повторяет правила действий со степенями и показывает, когда в показательном неравенстве знак меняется, а когда сохраняется.

Тригонометрия занимает второй раздел: основное тождество, тангенс через синус и косинус, синус и косинус двойного угла, общие решения уравнений sin x = a и cos x = a, табличные значения и единичная окружность. Центральная полоса отдана логарифмам — определение и четыре правила: произведение, частное, степень, переход к новому основанию. Завершают лист условия ОДЗ, чётность функций и формулы прогрессий.

Используйте лист как опору при решении: перед уравнением с логарифмом сверьтесь с ОДЗ, перед тригонометрией — с формулами корней. Затем проверьте себя на тренажёре: там простейшие уравнения и свойства разобраны по отдельным подтемам.

Частые вопросы

Можно ли распечатать шпаргалку?

Да, через кнопку «Распечатать» или в PDF — лист занимает один A4.

Какие формулы по алгебре нужно знать в 10 классе?

Свойства степеней и связь дробного показателя с корнем, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного угла, решения sin x = a и cos x = a, определение и свойства логарифмов, условия ОДЗ и формулы прогрессий.

Где потренироваться?

Возьмите «Логарифмы: свойства и простейшие уравнения», «Простейшие тригонометрические уравнения» и «Показательные уравнения и неравенства».

Почему логарифм суммы нельзя разбить на сумму логарифмов?

Такого свойства нет: в сумму логарифмов раскладывается логарифм произведения, log_a(xy) = log_ax + log_ay.