Степень с рациональным показателем и корень n-й степени

Простыми словами

Куб объёмом $8{\text{ см}}^3$ — какой длины у него ребро? Нужно число, которое в кубе даёт $8$: это $2$, потому что $2^3=8$. Такое «обратное возведение в степень» и называется извлечением корня.

• $\sqrt[3]{8}=2$, так как $2^3=8$; $\sqrt[4]{81}=3$, так как $3^4=81$.
• Корень чётной степени берут только из $a\ge 0$, и он сам неотрицателен: $\sqrt[4]{16}=2$ (а не $-2$).
• Корень нечётной степени существует для любого числа: $\sqrt[3]{-27}=-3$.

Степень с дробным показателем

Здесь $m$ — целое, $n$ — натуральное ($n\ge 2$). Например, $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$, $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$, $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$.

Для таких степеней верны все привычные свойства:

Свойства корня и упрощение

Сравнение корней

Функция $y=\sqrt[n]{x}$ возрастает при $x\ge 0$: чем больше подкоренное число, тем больше корень.

• Одинаковые показатели — сравниваем подкоренные числа: $\sqrt[3]{2}<\sqrt[3]{5}$, так как $2<5$; $\sqrt[3]{9}>\sqrt[3]{2}$.
• Разные показатели — приводим к общему: $\sqrt{3}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[6]{27}$, $\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}$, значит $\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}$.
• Множитель перед корнем вносим под корень: $2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=\sqrt[3]{24}$.