Степень с целым показателем. Стандартный вид числа

Свойства степеней, отрицательные показатели, запись числа в стандартном виде и действия с ним. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2$ — «умножить двойку саму на себя 3 раза». А что такое $2^{- 3}$ ? Это «три раза разделить на 2»: $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ . Отрицательный показатель — это деление, а не отрицательное число.

$a^{0} = 1 (a \neq = 0)$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)$ .

Здесь $a$ — основание, $n$ — показатель степени.

Свойства степеней

Правило	Пример
$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$	$a^{- 2} \cdot a^{6} = a^{4}$
$a^{n} : a^{m} = a^{n - m}$	$a^{4} : a^{- 6} = a^{10}$
$(a^{n})^{m} = a^{nm}$	$(3^{- 2})^{- 1} = 3^{2} = 9$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	$(\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}$

Свойства верны для любых целых показателей (в том числе отрицательных и нуля) при $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ .

Упростим $a^{- 4} \cdot a^{- 4} : a^{3}$ .

Умножение — показатели складываем: $- 4 + (- 4) = - 8$ .
Деление — вычитаем: $- 8 - 3 = - 11$ . Ответ: $a^{- 11}$ .

$(1 0^{- 3})^{- 1} = 1 0^{3} = 1000$ ; $a^{- 2} \cdot a^{6} : a^{- 6} = a^{- 2 + 6 - (- 6)} = a^{10}$ .

$2^{- 3} \neq = - 8$ и $2^{- 3} \neq = - 6$ . Правильно: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Знак числа отрицательная степень не меняет.

При делении вычитают весь показатель делителя: $a^{4} : a^{- 6} = a^{4 - (- 6)} = a^{10}$ , а не $a^{- 2}$ .

Стандартный вид числа

a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10

a

— число с одной цифрой до запятой,

n

— целое (порядок числа)

Порядок

n

— на сколько знаков сдвинули запятую

Ставим запятую после первой ненулевой цифры: получаем $a$ .
Считаем, на сколько знаков сдвинули запятую: это $∣ n ∣$ .
Сдвигали влево (число было $\geq 10$ ) — $n > 0$ ; вправо (число было $< 1$ ) — $n < 0$ .

$510000 = 5, 1 \cdot 1 0^{5}$ ; $0, 54 = 5, 4 \cdot 1 0^{- 1}$ ; $4500000 = 4, 5 \cdot 1 0^{6}$ ; $0, 00032 = 3, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ .

$(5 \cdot 1 0^{6}) \cdot (7 \cdot 1 0^{3})$ .

Множители отдельно, степени отдельно: $5 \cdot 7 = 35$ , $1 0^{6} \cdot 1 0^{3} = 1 0^{9}$ .
$35 \cdot 1 0^{9}$ — не стандартный вид ( $35 > 10$ ): $35 = 3, 5 \cdot 1 0^{1}$ .
Ответ: $3, 5 \cdot 1 0^{10}$ , показатель $10$ .

$(6 \cdot 1 0^{- 1}) \cdot (3 \cdot 1 0^{- 2}) = 18 \cdot 1 0^{- 3} = 1, 8 \cdot 1 0^{- 2}$ .

Не забывайте «довести» ответ до $1 \leq a < 10$ : $35 \cdot 1 0^{9}$ и $0, 35 \cdot 1 0^{11}$ — верные равенства, но не стандартный вид.

Проверка порядка: $1 0^{n}$ при $n > 0$ — единица с $n$ нулями; $1 0^{- n}$ — запятая и $n$ знаков после неё ( $1 0^{- 2} = 0, 01$ ).

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Степени и корни

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения:

(3⁻²)⁻¹

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — показатели перемножаются: -2 · -1 = 2. Значит выражение равно 3² = 9.

Найдите значение выражения:

(10⁻³)⁻¹

Показать ответ

Ответ: 1000
Решение. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — показатели перемножаются: -3 · -1 = 3. Значит выражение равно 10³ = 1000.

Упростите выражение и введите показатель полученной степени с основанием a:

a⁻² · a⁶ : a⁻⁶

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. Показатель равен −2 + (6) − (−6) = 10, то есть выражение равно a¹⁰.