Что такое дискриминант простыми словами?

Это число, которое показывает, сколько у уравнения корней, ещё до того как вы их нашли. Положительный — два корня, ноль — один, отрицательный — ни одного.

Как решать квадратные уравнения без дискриминанта?

Если уравнение приведённое (коэффициент при x² равен единице), быстрее подобрать корни по теореме Виета: нужны два числа, дающие в сумме −p, а в произведении q. Для целых корней это часто занимает пару секунд.

Когда квадратное уравнение не имеет корней?

Когда дискриминант отрицательный. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось x — висит целиком выше или целиком ниже неё.

Тема 2 · Алгебра

Квадратные уравнения и квадратный трёхчлен

Теорема Виета, дискриминант, неполные квадратные уравнения, разложение трёхчлена на множители. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Квадратные уравнения и квадратный трёхчлен»

В теме 6 подтем: Приведённое квадратное уравнение, Дискриминант, Разложение трёхчлена, Теорема Виета: произведение корней, Теорема Виета: сумма корней, Неполное квадратное уравнение.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Площадь квадратного участка вместе с дорожкой шириной 1 м равна 35 м². Если сторона участка $x$ , то $x^{2} + 2 x = 35$ — неизвестная стоит в квадрате. Такие уравнения решаются по одному готовому рецепту.

Квадратное уравнение — уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $x$ — неизвестная, $a, b, c$ — числа, причём $a \neq = 0$ .

$a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член. Многочлен $a x^{2} + b x + c$ называют квадратным трёхчленом.

Если $a = 1$ , уравнение называют приведённым: $x^{2} + p x + q = 0$ .

Дискриминант и формула корней

D = b^{2} - 4 a c

дискриминант — «различитель»: показывает, сколько корней

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

формула корней

Корни уравнения — точки, где парабола

y = a x^{2} + b x + c

пересекает ось

O x

$D > 0$ Два корня:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

$D = 0$ Один корень:

x = - \frac{b}{2 a}

$D < 0$ Действительных корней нет.

Найдём дискриминант уравнения $2 x^{2} - 5 x - 9 = 0$ .

Выписываем коэффициенты со знаками: $a = 2, b = - 5, c = - 9$ .
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 25 + 72 = 97$ .

Знак минус у $c$ меняет знак слагаемого: $- 4 a c = - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = + 20$ . Для $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ дискриминант $16 + 20 = 36$ , а не $16 - 20$ . И на $2 a$ делится вся сумма $- b \pm D www.reknow.ru$ , а не только корень.

Теорема Виета

Если $x_{1}, x_{2}$ — корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , то

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} .

Для приведённого $x^{2} + p x + q = 0$ : сумма корней $= - p$ , произведение $= q$ .

Решим $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ и укажем больший корень.

Ищем два числа: произведение $- 35$ , сумма $- 2$ .
Подходят $5$ и $- 7$ : $5 \cdot (- 7) = - 35$ , $5 + (- 7) = - 2$ .
Больший корень: $5$ .

$2 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ : сумма корней $- \frac{12}{2} = - 6$ . $2 x^{2} - 4 x - 16 = 0$ : произведение корней $\frac{- 16}{2} = - 8$ .

Неприведённое уравнение сначала делим на $a$ : у $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ произведение корней $\frac{4}{2} = 2$ , а не $4$ . И теорема работает, только если корни есть ( $D \geq 0$ ).

«Сумма — с обратным знаком, произведение — как есть».

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$ , дискриминант не нужен.

Вид	Как решать	Корни
$a x^{2} + b x = 0$	вынести $x$ : $x (a x + b) = 0$	$x = 0$ или $x = - \frac{b}{a}$
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$	$\pm - \frac{c}{a} www.reknow.ru$ , если $- \frac{c}{a} \geq 0$ ; иначе нет
$a x^{2} = 0$	—	$x = 0$

$x^{2} + 4 x = 0 \Rightarrow x (x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = - 4$ . Больший корень — $0$ .

Нельзя делить обе части на $x$ — теряется корень $x = 0$ . И $x^{2} = 9$ даёт два корня: $3$ и $- 3$ .

Разложение трёхчлена на множители

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

x_{1}, x_{2}

— корни трёхчлена; возможно только при

D \geq 0

Разложим $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

Корни $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ , то есть $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ : по Виету $2$ и $4$ .
Не забываем $a = 3$ : $3 x^{2} - 18 x + 24 = 3 (x - 2) (x - 4)$ .