Навык · Алгебра, 9 класс

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Формула ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂): как ей пользоваться и где она нужна.

Правило за 30 секундЕсли x₁ и x₂ — корни трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Сначала найдите корни (по дискриминанту или по Виету), потом подставьте их в формулу, не забыв коэффициент a. Если корней нет, трёхчлен на линейные множители не раскладывается.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Если знать, где трёхчлен обращается в ноль, его можно записать произведением скобок. Каждый корень $x_{0}$ даёт скобку $(x - x_{0})$ : при $x = x_{0}$ она равна нулю — и весь трёхчлен тоже.

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

a

— старший коэффициент,

x_{1}, x_{2}

— корни уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

Если $D = 0$ (корень один), то $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1})^{2}$ . Если $D < 0$ , корней нет — на множители вида $(x - x_{0})$ трёхчлен не раскладывается.

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

: корни

- 3

2

— точки на оси

Практика ›закрепить задачами по теме

Алгоритм

Найти корни $x_{1}, x_{2}$ : по теореме Виета (подбором) или через $D = b^{2} - 4 a c$ .
Записать $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , не забыв множитель $a$ .
Если корень отрицательный, минус на минус даёт плюс: при $x_{1} = - 3$ скобка $(x + 3)$ .
Проверить: раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом.

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

Разложим $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

Делим уравнение $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ на $3$ : $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .
По Виету: сумма $6$ , произведение $8$ — корни $2$ и $4$ .
Ответ: $3 (x - 2) (x - 4)$ .
Проверка: $3 (x^{2} - 6 x + 8) = 3 x^{2} - 18 x + 24$ ✓

$x^{2} + x - 6$ : произведение корней $- 6$ , сумма $- 1$ — это $2$ и $- 3$ . Ответ: $(x - 2) (x + 3)$ , или, что то же, $(x + 3) (x - 2)$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2$ : $D = 9 + 16 = 25$ , $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$ , корни $2$ и $- \frac{1}{2}$ . Ответ: $2 (x - 2) (x + \frac{1}{2}) = (x - 2) (2 x + 1)$ .

Теряют старший коэффициент: $2 x^{2} - 10 x + 12 \neq = (x - 2) (x - 3)$ . Правильно: $2 (x - 2) (x - 3)$ .

Путают знаки: при корнях $2$ и $- 3$ пишут $(x + 2) (x - 3)$ . В скобке стоит « $x$ минус корень»: $(x - 2) (x + 3)$ .

Навык — часть темы «Квадратные уравнения и квадратный трёхчлен». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Простыми словами

Алгоритм

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю