Системы уравнений с двумя переменными

Графическое решение системы, метод сложения и подстановки, число решений системы. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Каждое уравнение с двумя переменными задаёт на плоскости линию — все точки, которые ему подходят. Решение системы — пара $(x; y)$ , подходящая обоим уравнениям, то есть общая точка двух линий.

Система

{- 3 x - 3 y = 3 - x + 2 y = 7

: решение

(- 3; 2)

x + y = - 1

Способ подстановки

Из одного уравнения выражаем переменную и подставляем во второе — остаётся уравнение с одной неизвестной.

${3 x - y = - 9 - 3 y = 18$ , найдём $x$ .

Из второго: $y = - 6$ .
Подставляем в первое: $3 x + 6 = - 9$ , $3 x = - 15$ , $x = - 5$ .

Выражайте ту переменную, перед которой стоит $1$ или $- 1$ , — обойдётесь без дробей.

Способ сложения

Умножаем уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складываем — переменная исчезает.

${- 2 x + y = 0 2 x + y = - 8$

При $x$ стоят $- 2$ и $2$ — складываем: $2 y = - 8$ , $y = - 4$ .
Из первого: $- 2 x - 4 = 0$ , $x = - 2$ . Ответ: $(- 2; - 4)$ .

Умножают обе части уравнения: $3 (2 x + y) = 3 \cdot 5$ , а не только левую.

Графический способ и число решений

Строим оба графика, решение — координаты точки пересечения. Ответ по рисунку стоит проверить подстановкой: на рисунке выше $- 3 \cdot (- 3) - 3 \cdot 2 = 3$ ✓ и $3 + 2 \cdot 2 = 7$ ✓.

Одно решениеПрямые пересекаются.

{2 x + 2 y = - 2 - 2 y = 4

y = - 2

x = 1

Нет решенийПрямые параллельны. При решении выходит неверное равенство вроде

0 = 5

Бесконечно многоПрямые совпадают.

{- 2 y = - 6 4 y = 12

: оба уравнения — это

y = 3

Для системы $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ , $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ : одно решение, если $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ ; нет решений, если $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ; бесконечно много, если все три отношения равны.

Если просят сумму $x + y$ , сначала найдите обе координаты: для $(1; 2)$ ответ $3$ , а не одна из координат.

Системы второй степени

Если в системе есть $x^{2}$ , $x y$ и т. п., чаще всего работает подстановка.

${x + y = 5 x y = 6$

$y = 5 - x$ , тогда $x (5 - x) = 6$ , то есть $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .
$x = 2$ или $x = 3$ ; соответственно $y = 3$ или $y = 2$ .
Ответ: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ — у такой системы может быть несколько решений.

В системах второй степени проверяйте найденные пары подстановкой в оба уравнения — легко получить постороннее решение или потерять пару.

Посмотреть и посчитать

Модели

Система двух уравнений

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите систему уравнений и найдите значение x:

−2x + y = 0; 2x + y = −8

Показать ответ

Ответ: -2
Решение. Определитель системы: −2·1 − 2·1 = −4. x = (0·1 − −8·1) / −4 = −2, y = (−2·−8 − 2·0) / −4 = −4. Ответ: x = −2.

Решите систему уравнений и найдите значение x:

3x − y = −9; −3y = 18

Показать ответ

Ответ: -5
Решение. Определитель системы: 3·−3 − 0·−1 = −9. x = (−9·−3 − 18·−1) / −9 = −5, y = (3·18 − 0·−9) / −9 = −6. Ответ: x = −5.

Решите систему уравнений и найдите значение y:

3x − 2y = −18; −x + 3y = 13

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Определитель системы: 3·3 − −1·−2 = 7. x = −18·3 − 13·−27 = −4, y = 3·13 − −1·−187 = 3. Ответ: y = 3.