Текстовые задачи: движение, работа, проценты, сплавы

Скорость сближения, совместная производительность, проценты от величины, концентрация в смесях и сплавах. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Почти все текстовые задачи держатся на одной формуле «сколько сделано = скорость × время». В движении это путь, в работе — объём работы, в сплавах — масса чистого вещества. Главное — понять, что с чем складывается.

s = v \cdot t

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч); отсюда

t = \frac{s}{v}

Движение: навстречу и вдогонку

Время до встречи (или до момента, когда догонит)

t = \frac{s}{v _{сбл}}

Навстречу

v_{сбл} = v_{1} + v_{2}

Вдогонку

v_{сбл} = v_{1} - v_{2}

(из большей вычитаем меньшую)

$s = 400$ км, навстречу едут со скоростями $60$ и $20$ км/ч: $t = \frac{400}{60 + 20} = 5$ ч.

Догоняет: $s = 70$ км, $v_{1} = 85$ , $v_{2} = 50$ км/ч: $t = \frac{70}{85 - 50} = 2$ ч.

Движение по реке

По течению

v_{по} = v_{собств} + v_{теч}

— река помогает

Против течения

v_{прот} = v_{собств} - v_{теч}

— река мешает

Собственная скорость лодки $15$ км/ч, течение $4$ км/ч, путь $38$ км по течению: $t = \frac{38}{15 + 4} = 2$ ч.

Плот плывёт со скоростью течения — своей скорости у него нет.

Совместная работа

Всю работу принимаем за $1$ . Если работник делает её за $t$ дней, его производительность — $\frac{1}{t}$ работы в день. При совместной работе производительности складываются:

\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t _{общ}}

t_{1}, t_{2}

— время каждого в одиночку,

t_{общ}

— время вместе

Первый — за $12$ дней, второй — за $36$ .

За день вместе: $\frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3 + 1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ работы.
Вся работа — за $9$ дней.

Времена не складывают и не усредняют: вместе быстрее каждого, ответ меньше $12$ .

Проценты

$p %$ от числа $a$ : $a \cdot \frac{p}{100}$ . Увеличить на $p %$ — умножить на $1 + \frac{p}{100}$ ; уменьшить на $p %$ — умножить на $1 - \frac{p}{100}$ .

380 ₽ снизили на $35%$ : $380 \cdot 0, 65 = 247$ ₽. А 60 ₽ повысили на $25%$ : $60 \cdot 1, 25 = 75$ ₽.

Повышение на $10%$ и затем снижение на $10%$ не возвращают цену: $100 \cdot 1, 1 \cdot 0, 9 = 99$ .

Смеси и сплавы

Считаем массу чистого вещества: масса куска × концентрация. При сплавлении массы вещества складываются, массы кусков — тоже.

c = \frac{m _{1} c _{1} + m _{2} c _{2}}{m _{1} + m _{2}} \cdot 100%

m_{1}, m_{2}

— массы кусков,

c_{1}, c_{2}

— доли вещества в них,

c

— концентрация в новом сплаве

$5$ кг сплава с $45%$ меди и $5$ кг с $65%$ меди.

Меди: $5 \cdot 0, 45 + 5 \cdot 0, 65 = 2, 25 + 3, 25 = 5, 5$ кг.
Масса сплава: $10$ кг. Доля меди: $\frac{5 , 5}{10} = 0, 55$ , то есть $55%$ .

Проценты складывать нельзя: $45% + 65% \neq = 110%$ . Сохраняется масса вещества, а не проценты. Простое среднее процентов верно только при равных массах кусков.

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение

Калькуляторы

Калькулятор процентов

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

За сколько часов лодка пройдёт указанное расстояние ПО ТЕЧЕНИЮ реки?

собственная скорость 15 кмч, течение 4 кмч, путь 38 км

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Скорость по течению: 15 + 4 = 19 кмч. Время: t = 3819 = 2 ч.

Расстояние между двумя автомобилями, едущими в одну сторону, равно s. Через сколько часов первый догонит второго?

s = 70 км, v₁ = 85 кмч (догоняет), v₂ = 50 кмч

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Скорость сближения: 85 − 50 = 35 кмч. Время: t = 7035 = 2 ч.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов они встретятся?

s = 400 км, v₁ = 60 кмч, v₂ = 20 кмч

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. Скорость сближения: 60 + 20 = 80 кмч. Время: t = 40080 = 5 ч.

Первый рабочий выполняет всю работу за одно число дней, второй — за другое. За сколько дней они выполнят эту работу, работая вместе?

первый — за 12 дн., второй — за 36 дн.

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. За день вместе: 112 + 136 = 48432 части работы. Всё время: t = 43248 = 9 дн.

Цена товара снизилась на указанное число процентов. Сколько рублей стал стоить товар?

было 380 руб., снижение на 35%

Показать ответ

Ответ: 247
Решение. 35% от 380 = 380 · 35100 = 133 руб. Новая цена: 380 − 133 = 247 руб.

Цена товара повысилась на указанное число процентов. Сколько рублей стал стоить товар?

было 60 руб., повышение на 25%

Показать ответ

Ответ: 75
Решение. 25% от 60 = 60 · 25100 = 15 руб. Новая цена: 60 + 15 = 75 руб.

Сплавили два куска сплава разного состава. Сколько процентов меди содержит получившийся сплав?

3 кг сплава с 30% меди и 3 кг сплава с 40% меди

Показать ответ

Ответ: 35
Решение. Меди в кусках: 3 · 30100 = 0,9 кг и 3 · 40100 = 1,2 кг. Всего меди 2,1 кг при общей массе 6 кг. Доля: 2,16 = 0,35, то есть 35%.