Статистика и вероятность — Алгебра, 9 класс

Среднее, размах, медиана и мода, классическое определение вероятности, перебор исходов броска двух кубиков. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Статистика коротко описывает много чисел: какое значение «типичное» (среднее, медиана, мода) и насколько числа разбросаны (размах). Вероятность отвечает на вопрос «насколько вероятно событие» числом от $0$ до $1$ .

Характеристики числового ряда

Что	Как найти	Ряд $3, 18, 10, 30, 14$
Среднее арифметическое	сумма всех чисел, делённая на их количество	$\frac{75}{5} = 15$
Размах	наибольшее минус наименьшее	$30 - 3 = 27$
Мода	значение, которое встречается чаще всего	нет (все разные)
Медиана	число в середине упорядоченного ряда	$3, 10, 14, 18, 30 \to 14$

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

среднее арифметическое:

x_{1}, \dots, x_{n}

— числа ряда,

n

— их количество

Ряд $26, 2, 22, 15, 1, 29, 18$ .

Упорядочим: $1, 2, 15, 18, 22, 26, 29$ .
Чисел $7$ — середина на 4-м месте: медиана $18$ .

При чётном количестве чисел медиана — среднее двух центральных: у ряда $1, 4, 6, 9$ медиана $\frac{4 + 6}{2} = 5$ .

$15, 13, 13, 13, 1$ : чаще всего (3 раза) встречается $13$ — это мода.

Медиану ищут только в упорядоченном ряду. В ряду $26, 2, 22, 15, 1, 29, 18$ на середине стоит $15$ , но медиана — $18$ .

Данные на диаграмме

Сначала выпишем значения столбиков (смотрим на шкалу слева), потом считаем как с обычным рядом.

Сумма

6 + 10 + 8 + 12 + 9 = 45

, среднее

\frac{45}{5} = 9

(пунктир), размах

12 - 6 = 6

Проверяйте цену деления шкалы: одна клетка может быть равна 2, 5 или 10 единицам.

Классическая вероятность

P (A) = \frac{m}{n}

m

— число благоприятных исходов,

n

— число всех равновозможных исходов

$0 \leq P \leq 1$ : $P = 0$ — событие невозможно, $P = 1$ — достоверно.

В коробке 2 белых и 3 чёрных шара. Вероятность вынуть белый?

Всего исходов $n = 2 + 3 = 5$ , благоприятных $m = 2$ .
$P = \frac{2}{5} = 0, 4$ .

$P (не A) = 1 - P (A)$ . Иногда проще найти вероятность того, что событие не произойдёт, и вычесть её из единицы.

$n$ — число всех шаров, а не только «других»: при 2 белых и 2 чёрных $P (чёрный) = \frac{2}{4} = 0, 5$ , а не $\frac{2}{2}$ .

Два игральных кубика

У каждого кубика 6 исходов, всего пар $6 \cdot 6 = 36$ . Удобно выписать таблицу сумм: строка — первый кубик, столбец — второй.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Сумма равна 7 — 6 исходов (диагональ). Сумма не меньше 11 — это 11 или 12: $(5; 6), (6; 5), (6; 6)$ — 3 исхода. Вероятность такого события $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ .

$(5; 6)$ и $(6; 5)$ — разные исходы: кубики различимы (первый и второй).

«Не меньше» — это $\geq$ , «не больше» — это $\leq$ : граничное значение входит.

Посмотреть и посчитать

Модели

Диаграммы: столбчатая, круговая и таблица Классическая вероятность: благоприятные из всех Среднее и медиана Сумма на двух кубиках

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите среднее арифметическое числового ряда:

3, 18, 10, 30, 14

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Сумма: 75; чисел: 5. Среднее: 755 = 15.

Найдите моду числового ряда:

15, 13, 13, 13, 1

Показать ответ

Ответ: 13
Решение. Число 13 встречается 3 раза(-з) — чаще всех остальных, значит мода равна 13.

Найдите медиану числового ряда:

26, 2, 22, 15, 1, 29, 18

Показать ответ

Ответ: 18
Решение. Упорядоченный ряд: 1, 2, 15, 18, 22, 26, 29. Посередине стоит 18.