Арифметическая прогрессия

Q: Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычесть из любого члена предыдущий: d = a₂ − a₁. Если известны два далёких члена, разность находят делением: d = (aₙ − aₖ) / (n − k).

Q: Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену ПРИБАВЛЯЮТ одно и то же число, в геометрической — УМНОЖАЮТ на одно и то же. Отсюда и разный характер роста: равномерный против лавинообразного.

Q: Зачем нужна формула суммы, если можно сложить всё подряд?

Для десяти членов действительно можно сложить. Но в задачах просят сумму ста или тысячи — там без формулы не обойтись, а с ней это одно действие.

Формула n-го члена, разность прогрессии, сумма первых n членов, чтение прогрессии с координатной плоскости. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В копилку кладут 100 ₽, а потом каждую неделю добавляют ещё по 50 ₽: 100, 150, 200, 250… Каждое следующее число больше предыдущего на одно и то же число — это арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ — разностью прогрессии: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ .

Здесь $a_{1}$ — первый член, $a_{n}$ — член с номером $n$ . При $d > 0$ прогрессия возрастает, при $d < 0$ — убывает, при $d = 0$ все члены равны.

Формула n-го члена и разность

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

чтобы дойти от

a_{1}

до

a_{n}

, надо

n - 1

раз прибавить

d

$a_{1} = 3$ , $d = - 2$ . Найти $a_{21}$ .

$a_{21} = 3 + 20 \cdot (- 2) = 3 - 40 = - 37$ .

d = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}

разность по двум любым членам: от

a_{k}

до

a_{m}

ровно

m - k

шагов

$a_{4} = - 6$ , $a_{13} = - 15$ : $d = \frac{- 15 - ( - 6 )}{13 - 4} = \frac{- 9}{9} = - 1$ .
$a_{8} = 36$ , $a_{12} = 56$ : $d = \frac{56 - 36}{4} = 5$ .

Шагов между $a_{1}$ и $a_{n}$ — $n - 1$ , а не $n$ . Частая ошибка: $a_{21} = a_{1} + 21 d$ .

Прогрессия на рисунке

Члены прогрессии отмечают точками $(n; a_{n})$ : по горизонтали — номер, по вертикали — значение. Точки лежат на одной прямой. Разность — на сколько поднимается (или опускается) точка при шаге вправо на 1.

a_{1} = 2

a_{2} = 5

, …,

a_{6} = 17

: каждая точка выше предыдущей на 3, значит,

d = 3

a_{7} = 17 + 3 = 20

Найти две точки, которые точно стоят на линиях сетки (обычно первую и последнюю).
$d = \frac{a _{6} - a _{1}}{5}$ — разность значений, делённая на число шагов.
Следующий член: $a_{7} = a_{6} + d$ .

Если точки опускаются слева направо — $d$ отрицательная. Не забудьте знак: при $a_{1} = 4$ , $a_{6} = - 26$ разность $d = \frac{- 30}{5} = - 6$ .

Сумма первых n членов

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

первую удобно брать, когда известен последний член, вторую — когда известна разность

$a_{1} = 10$ , $d = 8$ . Найти $S_{14}$ .

$2 a_{1} + 13 d = 20 + 104 = 124$ .
$S_{14} = \frac{124}{2} \cdot 14 = 62 \cdot 14 = 868$ .

По легенде, маленький Гаусс сложил числа от 1 до 100, объединив их в пары $1 + 100$ , $2 + 99$ , … — 50 пар по 101, итого $5050$ . Это и есть формула $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ .

Характеристическое свойство

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседних

Отсюда название «арифметическая». Например, если $a_{3} = 7$ и $a_{5} = 15$ , то $a_{4} = 11$ .

Арифметическая — «прибавляем» ( $+ d$ ), геометрическая — «умножаем» ( $\cdot q$ ).

Посмотреть и посчитать

Модели

Прогрессии

Калькуляторы

Прогрессии

О теме

Последовательность, где каждое следующее число получается прибавлением одного и того же, называют арифметической прогрессией. Это самая предсказуемая из последовательностей: зная первый член и разность, можно назвать любой член, не выписывая все предыдущие.

Две формулы закрывают почти все задачи. Член с номером n: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 — по сути среднее крайних, умноженное на количество.

Главная ошибка — в скобке (n − 1). Чтобы дойти от первого члена до десятого, разность прибавляется девять раз, а не десять. Вторая по частоте: при отрицательной разности прогрессия убывает, и это нормально — её не нужно «исправлять», меняя знак.

Прогрессии — отдельный номер ОГЭ, и он из тех, где ответ либо верный, либо нет: промежуточных баллов почти не бывает. Зато и подготовка короткая: двух формул хватает, если понимать, откуда в одной из них берётся минус единица.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите разность d арифметической прогрессии:

a₄ = −6, a₁₃ = −15

Показать ответ

Ответ: -1
Решение. d = (−15 − (−6)) / (13 − 4) = −99 = −1.

Найдите разность d арифметической прогрессии:

a₈ = 36, a₁₂ = 56

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. d = (56 − (36)) / (12 − 8) = 204 = 5.

Найдите сумму первых членов арифметической прогрессии:

a₁ = 10, d = 8 — найдите S₁₄

Показать ответ

Ответ: 868
Решение. a₁₄ = 10 + 13 · (8) = 114; S₁₄ = (10 + (114)) · 142 = 868.

Частые вопросы

Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычесть из любого члена предыдущий: d = a₂ − a₁. Если известны два далёких члена, разность находят делением: d = (aₙ − aₖ) / (n − k).

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену ПРИБАВЛЯЮТ одно и то же число, в геометрической — УМНОЖАЮТ на одно и то же. Отсюда и разный характер роста: равномерный против лавинообразного.

Зачем нужна формула суммы, если можно сложить всё подряд?

Для десяти членов действительно можно сложить. Но в задачах просят сумму ста или тысячи — там без формулы не обойтись, а с ней это одно действие.