Калькулятор арифметической и геометрической прогрессии
Находит n-й член и сумму, показывает подстановку в формулу — и умеет определять вид прогрессии по нескольким первым числам ряда.
Впишите свой ответ — калькулятор проверит, не подставили ли вы n вместо n − 1.
Здесь часто ошибаются
- ✗Подставляют n вместо n − 1. До десятого члена разность прибавляют девять раз: первый член уже дан, шагов на один меньше, чем номер. Это самая частая ошибка в обеих прогрессиях.
- ✗Путают формулы прогрессий. В арифметической разность прибавляют, в геометрической знаменатель умножают. Проверка простая: если соседние члены отличаются на одно и то же — арифметическая, если в одно и то же число раз — геометрическая.
- ✗Дают в ответе сумму вместо n-го члена (или наоборот). Перечитайте вопрос: «найдите десятый член» и «найдите сумму первых десяти» — разные задачи.
- ✗В сумме геометрической прогрессии ставят qⁿ⁻¹ вместо qⁿ. В формуле n-го члена показатель n − 1, а в формуле суммы — n. Показатели разные.
- ✗Считают бесконечно убывающей любую убывающую прогрессию. Нужно именно |q| < 1. Прогрессия с q = 2 и отрицательным первым членом тоже убывает, но суммы у неё нет.
Последние расчёты
Хранятся только в этом браузере. Нажмите, чтобы вернуться к расчёту.
Хотите научиться решать сами?
Прогрессии — отдельное задание ОГЭ и половина задач про вклады, зарплату и рост числа подписчиков в реальной жизни. Формулы короткие, но подставляют в них не то почти все.
➕Арифметическая прогрессия, 9 классФормула n-го члена, сумма, характеристическое свойствоРешать →✖️Геометрическая прогрессия, 9 классЗнаменатель, n-й член, сумма и бесконечно убывающая прогрессияРешать →Прогрессии — задание 14 ОГЭРовно тот формат, в котором прогрессии спрашивают на экзаменеРешать →Теория и модели по теме
Как пользоваться калькулятором прогрессий
В первых двух режимах впишите первый член, разность (или знаменатель) и номер нужного члена — калькулятор покажет подстановку в формулу, найдёт n-й член и сумму первых n членов. Третий режим работает наоборот: вы вписываете несколько первых чисел ряда, а калькулятор определяет, какая это прогрессия, находит разность или знаменатель и продолжает ряд.
Арифметическая прогрессия
Это последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа — разности d. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Множитель n − 1, а не n, потому что первый член уже есть: чтобы дойти до десятого члена, разность прибавляют девять раз. Сумма первых n членов равна среднему первого и последнего, умноженному на количество: Sₙ = (a₁ + aₙ) : 2 · n.
Геометрическая прогрессия
Здесь каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q. Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qn−1 — показатель тоже на единицу меньше номера. Сумма первых n членов считается по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1) : (q − 1). Если |q| < 1, прогрессия называется бесконечно убывающей: её члены стремятся к нулю, и у всего бесконечного ряда есть конечная сумма S = b₁ : (1 − q).
Как отличить одну прогрессию от другой
Выпишите разности соседних членов. Если они одинаковые — прогрессия арифметическая. Если нет, посчитайте отношения соседних членов: одинаковые отношения означают геометрическую прогрессию. Если не постоянны ни разности, ни отношения, последовательность задана каким-то другим правилом — например, квадратами номеров или суммой двух предыдущих чисел, как в ряду Фибоначчи.
Частые вопросы
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической к каждому члену прибавляется одно и то же число, в геометрической каждый член умножается на одно и то же. Отсюда разные формулы n-го члена и суммы.
Как найти сумму первых n членов?
Для арифметической — полусумма первого и n-го, умноженная на n. Для геометрической — через знаменатель, и формула различается для случая, когда он равен единице.
Что такое бесконечно убывающая прогрессия?
Геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы. У неё есть сумма всего бесконечного ряда — конечное число.
Решение с сайта reknow.ru · https://reknow.ru/calc/calc_progressii.htm