Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена, разность прогрессии, сумма первых n членов. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Копилка: в первый день в ней 2 ₽, и каждый день добавляем ещё 3 ₽. Получаем 2, 5, 8, 11, … — каждый раз прибавляется одно и то же число. Такая последовательность — арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ — разности прогрессии: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ .

Точки

(n; a_{n})

лежат на одной прямой: каждый шаг вправо поднимает на

d = 3

Формулы

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

n

-й член: от первого члена делаем

n - 1

шаг по

d

d = a_{n + 1} - a_{n} = \frac{a _{n} - a _{1}}{n - 1}

разность: из следующего члена вычесть предыдущий

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

сумма первых

n

членов: среднее первого и последнего, умноженное на их количество

Здесь $a_{1}$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — номер члена (натуральное число), $S_{n}$ — сумма $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ .

Складываем пары с концов: $a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1} = \dots$ — все пары одинаковы. Пар $\frac{n}{2}$ , отсюда формула. Так юный Гаусс сложил числа от 1 до 100: $\frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$ .

Разбор заданий

$a_{1} = 9$ , $d = - 7$ . Найдите $a_{6}$ .

$a_{6} = a_{1} + 5 d = 9 + 5 \cdot (- 7) = 9 - 35 = - 26$ .

$a_{1} = 7$ , $a_{18} = - 78$ . Найдите $d$ .

$a_{18} = a_{1} + 17 d$ : $7 + 17 d = - 78$ .
$17 d = - 85$ , $d = - 5$ .

$a_{1} = - 2$ , $d = 2$ , $n = 18$ . Найдите $S_{18}$ .

$S_{18} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 17 \cdot 2}{2} \cdot 18 = \frac{30}{2} \cdot 18 = 270$ .

В формуле стоит $(n - 1) d$ , а не $n d$ : до 16-го члена от первого — 15 шагов. $a_{16} = 24 + 15 \cdot 4 = 84$ , а не $24 + 16 \cdot 4$ .

Как проверить, что это прогрессия

Найдите разности соседних членов: если они все одинаковы — это арифметическая прогрессия.

Да

3, 7, 11

: разности

4

4

- 12, - 7, - 2

: разности

5

5

Нет

1, 2, 4

: разности

1

2

— разные. Это геометрическая прогрессия.

Каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседей: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ . Для $3, 7, 11$ : $\frac{3 + 11}{2} = 7$ ✓

Разность может быть отрицательной (прогрессия убывает) или нулевой (все члены равны). Порядок вычитания важен: $d = a_{2} - a_{1}$ , а не $a_{1} - a_{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Прогрессии

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите a_{16} — 16-й член арифметической прогрессии:

a₁ = 24, d = 4

Показать ответ

Ответ: 84
Решение. a_{16} = 24 + (16−1)·(4) = 84.

Найдите разность d арифметической прогрессии:

a₁ = -13, a_{2} = -7

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. d = -7 − -132−1 = 6.

Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии:

a₁ = -2, d = 2, n = 18

Показать ответ

Ответ: 270
Решение. a_{18} = 32. Sₙ = (-2 + 32)·182 = 270.

Является ли последовательность арифметической прогрессией?

3, 7, 11

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. 7−3=4, 11−7=4 — разность одинакова, значит да.